軌跡の方程式が円の時の軌跡の存在範囲について

質問

お世話になります。よろしくお願いします。

問題＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
パラメーターtが実数全体を動く時
X＝(1-t^2)/(1+t^2)、Y＝2t/(1+t^2)において
点P(X,Y)の軌跡を求めよ。
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必要条件でtを消去してxとyの関係式「x^2+y^2＝1」を求め、
さらに「x＝ー1+2/(1+t^2)」よりtを実数の範囲で動かすと
xは「ー1＜x≦1」の範囲を動くという所までできましたが、
その後のyの存在範囲を求める所がよく分りません。

軌跡の方程式が円で
xとyが1対1に対応していない所がとても厄介だと思います。
すなわちtが実数値を動きそれに伴いxが移動した時にyが円の上半分を動くのか下半分を動くのかもしくはその両方かが厳密には分かりづらいという事です。

ここの厄介な部分をどのように処理すればいいでしょうか？
分かる方よろしくお願い致します。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

二つの方法について説明します。

(1)微分して増減表を書く
f(t)=2t/(1+t^2)
とおき、f(t)をtで微分、増減表を書く。
t→-∞とt→∞についても調べる必要あり。

(2)2次方程式が実数解を持つ範囲として捉える
Y=2t/(1+t^2)　を変形すると
Y*t^2-2t+Y=0
となります。このtに関する方程式が実数解を持つ範囲Yの範囲が求めるYの変域となる。
念のためにいうとY≠0とY=0で場合わけをしないといけません。
Y≠0のときは2次方程式となりますので判別式の条件から考えればよい。
Y=0のときはtが解を持つか別に確認すること。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

なるほど！媒介変数を含む関数（サイクロイド）などと同様に増減表を書き、ｔを追ってグラフを書いていけばよいのですね。
早速自分なりの答案を作ってみましたら満足のいく解答ができました。
どうもありがとうございました。

ｙの範囲だけを求めるなら(２）の方法はとても良いですね。
覚えておきます。
どうもありがとうございました。

回答No.6

arrysthmia

貴方が何を正解と考えているのかは、判った。

必要条件 x^2+y^2=1 が在ることと、
各 x に対応する t の個数 (y の個数と一致する)
を考えると、
軌跡は厳密に決まるのだけどね。

お礼

お礼が遅れましてすみません。
再度のご回答どうもありがとうございます。

xに対応するtの個数を数え、tの個数１コに付きyの個数が1コ対応する
のもとても良い方法ですね。
とても勉強になりました。
この度はどうもありがとうございました。

回答No.5

arrysthmia

(x,y) の「動き」に囚われ過ぎじゃないかな。
対応する t が存在すれば軌跡上の点が存在し、
t が存在しなければ点も存在しないダケのこと。
-1＜x≦1 では対応する t が存在し、
x=-1 では存在しないことを
正しく求めたのなら、
y の存在・不存在も t と同じ。
t がわかれば、y=2t/(1+t~2) に代入するだけ
なんだから。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

式の変形で
-1＜x≦1、-1≦y≦1 の時にtが存在し、
xとyは関係式「x^2+y^2＝1」を満たす
というだけであれば
第1象限がなく、第２、第３、第４象限のみの3/4円というのも条件を満たしてしまうので、円の第１象限部分も含むということを示すにはもう少し踏み込んだ議論が必要ではないかと思ったので、ここのあたりの処理に悩んでおりました。

やはり厳密に議論するにはtを追跡するのが良いみたいですね。
この度はどうもありがとうございました。

回答No.4

htms42

＞その後のyの存在範囲を求める所がよく分りません。

＞「軌跡の方程式が円でxとyが1対1に対応していない所がとても厄介だと思います。
すなわちtが実数値を動きそれに伴いxが移動した時にyが円の上半分を動くのか下半分を動くのかもしくはその両方かが厳密には分かりづらいという事です。」

ｘとｙの関係が円になったのですから１つのｘの値に対して２つのｙの値が対応するというのは当然です。

でも１つのｔの値に対して一組の（ｘ、ｙ）が決まるのですから円のどちらを動いているかがわからないということはないはずなんです。

ｔ＝０で　ｘ＝１、ｙ＝０　

０＜ｔ＜１で　ｘ＞０、ｙ＞０
ｔ＝１で　ｘ＝０、ｙ＝１
ｔ＞１で　ｘ＜０、ｙ＞０

０＞ｔ＞－１で　ｘ＞０、ｙ＜０
ｔ＝－１で　ｘ＝０、ｙ＝－１
ｔ＜－１で　ｘ＜０、ｙ＜０
です。

ｔが０から正の方向に大きくなっていけば時計回りに円の上を回っていくということはわかりますね。
ｔに別の値を入れても構いません。
わかるまでｔに値を入れて調べればいいのです。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

やはりtを追ってグラフを追跡していくしかないですね。
答案としては増減表でグラフを書くというのが一番みたいです。
どうもありがとうございます。

回答No.3

naniwacchi

xはx、yはyで考えればいいと思います。

＞xは「ー1＜x≦1」の範囲を動くという所までできましたが
あるxに対しても、yは2つ対応します（1対1ではない）。
xもyもある意味同等の立場にあるということです。

たとえばの例として、あるtに対して y=±1/2となったとします。しかし、このtに対応するxが存在しなければ、その点（2点）は存在しないものとなります。
求め方自体は、#1の方が丁寧に説明されているとおりでいいと思います。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

やはり#1さんの方法がとても良い方法だと私も思います。
どうもありがとうございました。

回答No.2

mister_moonlight

y/2＝t/（1+t^2）と変形できる。
(1)　t＝0の時、y＝0　となり、満たす実数値が存在するから解の一部。
(2)　t≠0の時、y/2＝t/（1+t^2）＝1/（分母）。但し、分母＝t＋（1/t）となる。従って、｜t＋（1/t）｜≧2より、｜y｜≦1.
(1)と(2)より、｜y｜≦1。

実は、この問題は、t＝tanθ　とすると、x＝(1-t^2)/(1+t^2)＝cos（2θ）、y＝2t/(1+t^2)＝sin（2θ）より、x^2+y^2＝1。
但し、θ≠±π/2より　x≠-1　y≠0、即ち　点（-1、0）は除く　と、すぐ分かるんだけどね。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

yの範囲を求めるのに微分してグラフを書くよりも良い方法があるのではないかと思っていたのですが、この2つの方法はすごいですね。

最初のtで割るのはいろいろな場面で使えそうですね。
どうもありがとうございます。

2つ目の方法は本当にびっくりですね。
そういえばsinθ、cosθはtanθ/2で表せるというのは習った憶えが
ありましたが、まさかこんなところに隠れているなんて・・・。
どうもありがとうございました。