軌跡の問題です

質問

円Ｃ：x＾2＋y＾2＝1と動点P（t，１）（tは実数）がある。Pを中心とし、2点（0，0)，（0，2)を通る円とＣとの交点をS，Tとする。このとき直線STの方程式を求めなさい。また、線分STの中点Qの軌跡を求めなさい。

動点Pを中心とする円を
（x-t)^2+(y-1)^2=a^2とし
点（0，0)を通るから
（0-t)^2+(0-1)^2=a^2
よってa^2=t^2+1
(x-t)^2+(y-1)^2=t^2+1
ここまでやりましたが、この先がわかりません。教えて下さい。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

質問にあるやり方まで合っています。

後は、#1さんのアドバイス通り
先をやればできます。

手順A)
>Ｃ：x＾2＋y＾2＝1…(1)
>(x-t)^2+(y-1)^2=t^2+1…(2)
これと円Cの共有点S,Tを通る直線の方程式…(3)は
(2)-(1)から求められます。

手順B)
そうすれば、
直線STと「(1)と(2)の中心を通る直線…(4)」
の交点が線分STの中点Q（X,Y)となります。

手順C)
XとYがpの式となりますのでpを消去すれば
XとYの関係式…(5)が求まります。

手順D)
(5)が中点Qの軌跡の（答え）になります。

なお、（答え）の軌跡は
X^2+(Y-1/4)^2=(1/4)^2の円になります。
ただし、原点は除く。
チェックに利用下さい。

以上の手順に沿ってできるだけ自力でやってみて下さい。
分からない所が出たら、そこまでの解答の途中経過を補足に書いて質問して下さい。

お礼

解り易い解説をいつも有難うございます。

回答No.2

mister_moonlight

所謂“直線束”の応用問題。

円Ｃと円：(x-t)^2+(y-1)^2＝t^2+1の交点を通る曲線は、kを定数として、{x＾2＋y＾2-1}＋k{(x-t)^2+(y-1)^2-t^2-1}＝0と表せる。
これが直線を表すから、k＝-1.
従って、計算すると、直線STは2y＋2xt＝1.‥‥(1)
又、2つの円はその中心ＯＰに関して対称であるから、ＳもＴも直線ＯＰに関して対称で、ＯＰの中点ＱはＳＴの上にある。
直線ＯＰの方程式は、x＝ty　‥‥(2)であるから、(1)と(2)からtを消去すると、x＾2＋（y-1/4）＾2＝（1/4）＾2。但し、点（0、0）は除く。

お礼

解説有難うございました。