対称点の軌跡の問題で・・・

質問

- - - - - - - - - 問題文 - - - - - - - - - - - - -
直線y=χ+1 に関して,点Pと対称な点Qをとる。
点Pが直線y=2χ 上を動くとき,点Qの軌跡を求めよ。
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頑張ってみましたが、解けませんでした。どうかフォローを
お願いします。

私は、まず点Pが直線y=2χ上にあることから、P(t,2t)とおき、
これを通り直線y=χ+1 に垂直な直線を求め、また点Pと点Qの中点が
y=χ+1 上であることを使って解こうとしましたが、どうやら
Pのおき方がまずかったようです・・・

回答No.1

hero1000 · ベストアンサー

まず、次のように定義してみます。
直線A：点Pがある直線（y=2x）
直線B：y=x+1
直線C：点Qがある直線（y=ax+b）

点Pは直線A上にあるので、適当にP(3,6)などと決めてしまいましょう。
そして点Pを通り、直線Bに垂直な直線Dの式を求めます。
「互いに垂直となる直線の傾きの積は-1」なので、
直線D：y=-x+d
となり、点Pを通るのですから
　　6=-3+d　　よってd=9
直線D：y=-x+9
となります。

次に、直線Dと直線Bの交点Rを求めてみましょう。
直線B：y=x+1・・・(1)
直線D：y=-x+9・・・(2)
(1)+(2)で2y=10　よってy=5　さらにx=4　よって点R(4,5)

点Qの座標は点Pと、直線Bについて線対称であるので、
（点Rのx座標－点Pのx座標）＝（点Qのx座標－点Rのx座標）
です。これより、
　　4-3=Qx-4
　　Qx=5
点Qは直線D上にあるので、
　　Qy=-5+9=4
よって点Qの座標は(5,4)となります。

ここまでで点P(3,6)のとき、点Q(5,4)となることがわかりました。・・・(3)

さて、ここで直線Aと直線Bの交点を求めてみましょう。
直線A：y=2x・・・(4)
直線B：y=x+1・・・(5)
(4)-(5)で 0=x-1　よってx=1、y=2となります。
この交点は、点Pの軌跡にも点Qの軌跡にも共通の点であるので、(3)でわかった
点Q(5,4)とこの交点(1,2)を通る直線が、点Qの軌跡となります。
点Qの軌跡である直線Cは
直線C：y=ax+b
なので、連立方程式をたててみると

2=a+b・・・・(6)
4=5a+b・・・・(7)

となります。(6)-(7)より
　　-2=-4a　よって a=1/2
これにより b=3/2 となりますので、

点Qの軌跡の直線Cは
直線C: y=(1/2)x+(3/2)
となります。

お礼

なるほど。おかげさまで解決できました。
ご丁寧な解説本当にありがとうございました。

回答No.2

motsuan

求める点の軌跡は直線に対するものですから、
直感的に直線になりますよね
（証明しろというのであれば、空間全体を直線y=χ+1
　に対して対称変換しても、
　点の距離や直線の交わり具合が変わらないからと答えるのかな？？）。
直線は２点がきまれば全部決まっちゃうわけですから、
求めやすい点を選んで、その２点を求めれば
いいんじゃないでしょうか。
（あるいは、原点をｘ方向に1だけシフトして、ｘとｙを入れ換えて、再び、
　原点をｘ方向に-1だけシフトしてもいいかも）

お礼

アドバイス本当にありがとうございました。