軌跡(値域・領域)

質問

軌跡とは、「与えられた条件を満たす点の集合」であるということは理解できていたつもりだったのですが、軌跡についての本を読んでいて画像の説明がよく理解できず、質問させていただきたいです。

「条件Cを満足する点Pの軌跡が集合Fである」
⇔{P|C}=F
⇔『[Ⅰ]条件Cを満たす点Pは集合Fに含まれる』
かつ 『[Ⅱ]集合Fに含まれる任意の点Pは条件Cに満足する』

軌跡を解く際に、条件Cを満足する点Pができるできる軌跡K(できる図形)であるので、点Pを(x,y)とし、(x,y|C)でできる軌跡Kとすると、(x,y |C)∈Kになるのはわかります。

ですが、画像の下半分である
『[Ⅰ]条件Cを満たす点Pは集合Fに含まれる』
という条件ですが、『[Ⅰ]だけでは、集合F全体が求める軌跡であるとは限らない』というのは理解できますが、集合Fのようなものは問題を解く際に考えるのでしょうか。問題に提示された条件に満たされた点を追っていき軌跡を求めたそのものが軌跡であり集合Fというものであると思っているのですが。
この画像の中の「条件を満たす点P」と「集合F」は「条件を満たす点P」から生まれた「集合F」ではないのでしょうか。
なので、「初等幾何の奇跡の問題に...この場合[Ⅰ]だけでは「線分の両端を除く」がもれることになる」が分かりません。

回答No.3

maskoto

補足の三平方の定理関係の事に関しては、貴方の考えた通りです

三平方定理による、任意の点Pの集合をC
求めるべき点Pの集合(軌跡)を集合Dとすると
C⊃Dなので、
Cが表す図形を求めたならば、十分性のチェックが必要と言うわけです

回答No.2

maskoto

あと、多分貴方の質問だと思いますが
ブリッジ回路の等電位関連についても、解説を投稿しておきました
良かった見てください

補足

毎度、拙い文章の質問ですが、丁寧に早急に返信していただきありがとうございます。
大変嬉しく、助かっております。
これからもよろしくお願いいたします。
上記の質問も含め、他の質問の回答にもなるべく早く返信させていただきます。
遅くなってしまい、すみません。

回答No.1

maskoto

「定線分云々の…奇跡」
は、｛P│C｝に相当して
これを上部の解説では集合Aと呼んでいます
よね

一方、「その線分を弦とし〜弧である…(端点は除く、は削除)」
こちらを仮に集合B(F)だとします

例題では、例えば
円周角の定理の逆などにより
Aは円弧である
つまりBの部分集合(Bそのもの)である
と言う事が簡単に示せそうです

でもこれ(すなわち[Ⅰ])を示しただけだと
線分の端点については考慮されていない不十分解答と言う事になりますよね

そこで、十分性の確認
すなわち(Ⅱ)が必要だと画像は言っているようですね

〜参考まで〜

補足

返信が遅くなってしまいすみません。
丁寧に解説していただきありがとうございます。

問題に書かれている条件集合A(今回だと「定線分云々の…軌跡」)を解く際に、同値を確認せず(今回だと、円周角の定理の逆の利用により、両端が含まれてしまっている)、導出された図集合B(F)が、問題の答えの軌跡になっているかどうかが分からないということですね。

問題の条件の文章から自分で立式する時などに、このような、出てきたしまった答えが問題の条件と同値でないことが起こってしまいそうですね..
例えば、
『「問：点A(a,0),B(-a,0) がある(a>0)。∠APB=90°となる点Pの軌跡を求めよ。」
P(x,y) とおく。
∠APB=90°より、
三平方の定理より AP²+BP²=AB².......』
と続きますが、「三平方の定理」を使ったことにより、同値ではなくなるということでしょうか。三平方の定理ではPがAやBに一致することを考慮に入れてないので、このようなことが起こってしまうということでしょうか。

随分と前の質問ですが、すみません。