通信工学の課題

質問

大学の通信工学系の授業で課題が出たのですが、他学科の授業だったため授業を聞いていてもなかなか理解できない部分などが多々あるので。
よかったら課題を解く参考に

sin z = j2 (z = x + jy)
という問題を解説していただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

ヒントのところには
sin z = sin(x + jy)=sin(x) cos(jy) +cos (x)sin(jy)
=sin(x)cosh(y) + jcos(x)sinh(y) = 0+j2
とあります。

回答No.2

alice_44

式がよく判らないなあ、 j2 ってのが何か。
2j のこと？ j^2 のこと？ それとも別の何か？

回答No.1

info22_

ヒントがあって何が分からないのでしょうか？
jは虚数単位√(-1)のことです。

>sin z = sin(x + jy)=sin(x) cos(jy) +cos (x)sin(jy)
ここはsinの加法定理の式
　sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
を使ってるだけ。

>=sin(x)cosh(y) + jcos(x)sinh(y)
ここは公式
　sin(z)={(e^(jz))-(e^(-jz))}/(2j)
　cos(z)=(e^(jz))+(e^(-jz))}/2
を使い z=jyとおけば
　sin(iy)={(e^(jjy))-(e^(-jjy))}/(2j)
={e^(-y)-e^y}(-j)/2
　 =j{-e^(-y)+e^y}/2=jsinh(x) (∵双曲線関数の定義式)
　cos(jy)={e^(iiy)+e^(-jjy)}/2
={e^(-y)+e^y)}/2=cosh(x) (∵双曲線関数の定義式)
の関係式sin(jy)=jsinh(y),cos(jy)=cosh(x)を代入しただけ。

>= 0+j2
x,yは実数なので実数部と虚数部同士が等しいから

sin(x)cosh(y)=0 ...(A)
cos(x)sinh(y)=2 ...(B)

(A)式で　cosh(y)≧1であるから
　sin(x)=0 ∴x=nπ（nは任意の整数）
x=2mπ(mは任意の整数)の時　cos(x)=cos(2mπ)=1
　(B)より　sinh(y)=2 ∴y=sinh^-1(2)=ln(2+√5)
(公式sinh^-1(A)=log(A+√(1+A^2)),lnは自然対数)
x=(2m-1)πの時 cos(x)=cos((2m-1)π)=-1
　(B)より sinh(y)=-2
　∴sinh^-1(-2)=-sinh^-1(2)=-ln(2+√5)

元の方程式の解は、求めたx,yを
　z=x+jy
に代入してまとめるだけ。

(答え)
z=x+jy=nπ+j((-1)^n)ln(2+√5))　(nは任意の整数)