この超越方程式解の解き方

質問

sinh(λl)*cos(λl)+sin(λl)*cosh(λl)+(λl)*{cosh(λl)*cos(λl)-1}=0　　　(l=L)
という式で、λlを求めるのですが、cosh*cosで割ったり、パソコンで数字を当てたりしてみましたが解くことができません。もう少し短い式だったなら解けたかもしれないのですが・・・。
どなたかこの式の行き着く先、もしくは解の求め方を教えてください。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

元の方程式の左辺を f(x) と書きます．
y = f(x) のグラフが x 軸を切るところの x の値が
元の方程式 f(x) = 0 の解です．
だから y = f(x) のグラフを描いてみれば様子がわかるということです．

ところで，f(x) には cosh(x) や sinh(x) が含まれていて，
cosh(x) = (1/2) (e^x + e^(-x))
sinh(x) = (1/2) (e^x - e^(-x))
ですから，x が大きくなると e^x が効いて
cosh(x) や sinh(x) の値はべらぼうに大きくなります．
で，sin(x) や cos(x) がありますから，
f(x) の関数値は正になったり負になったりするでしょう．
つまり，x が少し変化するとき，
f(x) の値は 10^10 から -10^10 まで変化する，
などということが起こります(数値は，例えば，ということです)
これではグラフはまともに描けません．
諸悪の根元は e^x がどんどん大きくなることにありますから，
e^x で割っておけば良いわけです．
e^x はゼロになりませんから，方程式としては
f(x) = 0 も f(x)/e^x = 0 も同じことです．
g(x) = f(x)/e^x のグラフなら，f(x) の時みたいなことは起こりません．

ただし，
cosh(x)/e^x という表現にしますと，
べらぼうに大きな値 cosh(x) をやっぱりべらぼうに大きい e^x で割る，
ということになり，数値処理上のトラブルの元です(ここらへんは処理系に依存します)．
cosh(x)/e^x を書き直して
cosh(x)/e^x = (1/2) (1+e^(-2x)) としておけば，
そういう問題は起こりません．

式の上では等価な表現でも，数値計算をするときは多少注意が必要です．

回答No.7

grothendieck

ExcelでNewton法をするには次の様にするとできます。
(1) 1列目のセルA1 に解の初期値を入力する。
(2) 解きたい方程式が f(x)=0 であるとき、2列目のセルA2 に
　　=A1-f(A1)/f '(A1)
　を数式として入力する。
(3) ドラッグアンドコピーで２列目の数式を繰り返しの回数だけ　
　下のセルにコピーする。
ここでf(x)=cos(x)sinh(x)+sin(x)cosh(x)+x*(cosh(x)cos(x)-1) とすると
f '(x)=3cosh(x)cos(x)-x*cosh(x)sin(x)+x*sinh(x)cos(x)-1
なのでA1, B1, C1,…のセルに PI()/2, 3*PI()/2, 5*PI()/2…と入力し、A2 に
　=A1-(COS(A1)*SINH(A1)+SIN(A1)*COSH(A1)+A1*(COSH(A1)*COS(A1)-1))/(3*COSH(A1)*COS(A1)-A1*COSH(A1)*SIN(A1)+A1*SINH(A1)*COS(A1))
と入力し、他のセルにコピーするとできます。

回答No.6

grothendieck

No.3 の回答は(cosh(x)*cos(x)-1) を(cos(x)*cos(x)-1)と見誤ったための間違いでした。さてxが少し大きくなるとsinh(x)やcosh(x)がかかっていない項を無視すると
　cos(x)*sinh(x) + (sin(x)+x*cos(x))cosh(x) = 0
で近似できるでしょう。さらにsinh(x) とcosh(x) をほぼ等しいとすると
　x = -1 - tan(x)
y=x と y= -1 - tan(x) のグラフを書くと分かるように交点はほぼ-tan(x)が発散する
　x= π/2, 3π/2, 5π/2, …
になります。 x=0 以外の解の第1近似としてはこれを取るのがよいでしょう。これを初期値としてニュートン法で計算すると
　x= 1.71081, 4.89277, 7.96446, …
となりました.

回答No.5

grothendieck

下の私の回答は誤りです。申し訳ありません。やり直します。

回答No.4

grothendieck

xが少し大きくなるとsinh(x)やcosh(x)は x*(cos^2(x)-1)より圧倒的に大きくなるから方程式は
　cos(x)*sinh(x) + sin(x)*cosh(x) = 0
で近似できるでしょう。さらにsinh(x) とcosh(x) をほぼ等しいとすると
　cos(x) + sin(x) = √2 sin(x + π/4) = 0
より
　x= 3π/4, 7π/4, 11π/4, 15π/4, …
x=0 以外の解の第1近似としてはこれを取るのがよいでしょう。これを初期値としてニュートン法で計算すると
　x= 2.09422, 5.31304, 8.63829, 11.7810 …
となりましたが…

回答No.2

siegmund

siegmund です．

> Excelで解く場合はどのようにやればよろしいんでしょうか？

ツール => ソルバー でできるようですが，
私は使ったことがありません．
詳しい方，よろしくお願いします．

f(x) のグラフを描いてみると様子がわかるはずですが，
No.1 で書きましたように，関数値は指数関数的に増えて値が爆発するので，
f(x) そのものではなく g(x) ≡ f(x) / e^x のグラフを描くのがよろしいでしょう．
単に cosh(x)/e^x としてしまってはトラブルの元ですから
cosh(x)/e^x = (1/2){1+e^(-2x)} のように書き換えておくのがベターと思います．

お礼

難しい質問に回答してくださってありがとうございました。実言うと回答見ても理解できてません。すいません。

回答No.1

siegmund

面倒なので λl の代わりに x と書きます．

一目見てわかることは
○ x=0 が解になっている．
○ 正負対称の解がある(x=a が解なら x=-a も解)
ですが，もちろん一般解を求めるのは不可能です．

以下，x>0 に話を限り，
方程式の左辺を f(x) とします．

x が大きいとき sinh(x) ～ cosh(x) ～ (1/2)e^x ですから，
式の形からして f(x) は非常に激しく振動する関数になっていて
おそらく無限個の解があるでしょう．

手抜きで Mathematica の FindRoot にやらせました．
0 に近い解(10 以下のもの)は
x=0, 1.71888, 4.89277, 7.96446, ...
でした．

補足

Mathematicaなどは全く分からなくExcelしか分からないのですが、Excelで解く場合はどのようにやればよろしいんでしょうか？