陰関数表示からの変換は可能？

質問

陰関数表示からパラメータ表示に変えることは可能ですか？

もしできるのでしたら、楕円もしくは双曲線を例として教えて下さい。

楕円：x^2/a^2+y^2/b^2-1=0⇒x(t)＝a cos t ,y(t)=b sin t
双曲線：x^2/a^2-y^2/b^2-1=0⇒x(t)=a cosh t ,y(t)=b sinh t

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

どんなパラメータ表示をするかに非常に強く依存しますが，
恐らく質問者さんが望むような表示を作ることは，一般には不可能です．

大前提として，どんな図形でもパラメータ化することはできます．
（濃度の等しい集合を持ってきて全単射を作ればよいだけです．）

しかしそれでは実用的には意味が無いので，
例えば，滑らかな関数や，有理式・初等関数だけでパラメータ化する，
といったことが（主にCGの分野で）現在でも盛んに研究されています．
（きっと質問者さんが望むのも，こちらだと思います．）

ただし，そのようなパラメータ化を作る問題は非常に難しく，
一般には以下の２つの意味で，現実的には不可能だと言えます：
　(1) そもそもパラメータ化できない図形が存在する．
　(2) パラメータ化可能だが，具体的な方法が知られていないものが存在する．
もちろん，図形やパラメータ化のクラスの定め方次第で，
簡単に解ける場合もあったりしますが．

ちなみに，質問者さんの例は簡単にパラメータ化できる例です．
つまり，方程式を陽に解いてやって，文字を置き換えた
　x(s,t) = as√(1 - t^2/b^2)
　y(s,t) = t
は，初等関数によるパラメータ化の１つです（ただし s ∈ {-1,1}，t ∈ [-b,b]）．
また，それは２次曲線なので，三角関数などを使ったパラメータ化の自動導出も可能ですが，
パターンマッチング的なことをするので，特に説明するものでもありません．

回答No.2

info22

楕円 x^2/a^2+y^2/b^2-1=0 (|x|≦a,|y|≦b)の場合 ,ただし、a>0,b>0
例1）(x,y)=(a cos(t),b sin (t)) (0≦t<2π)

双曲線 x^2/a^2-y^2/b^2-1=0 (x≧a,|y|<∞）の場合,ただし、a>0,b>0
例1）(x,y)=(a cosh(t),b sinh (t)) (|t|<∞)
例2) (x,y)=(a√(1+t^2),bt) (|t|<∞)

双曲線 x^2/a^2-y^2/b^2-1=0 (x≦-a,|y|<∞）の場合,ただし、a>0,b>0
例1）(x,y)=(-a cosh(t),b sinh (t)) (|t|<∞)
例2) (x,y)=(-a√(1+t^2),bt) (|t|<∞)