球座標の基本ベクトル

質問

私は工学系の大学１年生です。球座標の基本ベクトルを直交座標の基本ベクトルで表した次の式
e(r)=sinθcosφe(x)+sinθsinφe(y)+cosθe(z),
e(θ)=cosθcosφe(x)+cosθsinφe(y)-sinθe(z),
e(φ)=-sinφe(x)+cosφe(y),
※e(r),e(θ),e(φ)はそれぞれ球座標の基本ベクトルです。
をe(x),e(y),e(z)について解きたいのですが、どうやって式変形すればよいか分かりません。答えは分かっていて次のとおりです。
e(x)=sinθcosφe(r)+cosθcosφe(θ)-sinφe(φ),
e(y)=sinθsinφe(r)+cosθsinφe(θ)+cosφe(φ),
e(z)=cosθe(r)-sinθe(θ)
どなたか解き方が分かる方教えてください。おねがいします。

回答No.1

KENZOU · ベストアンサー

sin^2θ+cos^2θ=1の関係を利用すればすぐでてきます。

e(r)=sinθcosφe(x)+sinθsinφe(y)+cosθe(z)　　(1)
e(θ)=cosθcosφe(x)+cosθsinφe(y)-sinθe(z)　(2)
e(φ)=-sinφe(x)+cosφe(y)　(3)

(1)×cosθ-(2)×sinθより
e(r)cosθ-e(θ)sinθ=e(z)　(4)

(1)×sinθ+(2)×cosθより
e(r)sinθ+e(θ)cosθ=cosφe(x)+sinφe(y)　(5)

同様にして
(5)×sinφ+(3)よりe(y)がでてきます。e(x)も全く同じようにしてでますね。

お礼

どうもありがとうございます。おっしゃる通りにやってみたら解けました。しかし、説明の最後の部分は(5)×sinφ+(3)では無くて、恐らく(5)×sinφ+(3)×cosφですよね？（教えてもらっておいて偉そうにすいません…）本当に助かりました。

回答No.2

siegmund

KENZOU さんのご回答でもちろんいいわけですが，
工学系大学１年なら線形代数をやっていますよね．

e(x),e(y),e(z) も，e(r),e(θ),e(φ) も
３次元のユークリッド空間のベクトルに対する正規直交基底です．
したがって，saraudon さんの書かれた式
e(r)=sinθcosφe(x)+sinθsinφe(y)+cosθe(z),
e(θ)=cosθcosφe(x)+cosθsinφe(y)-sinθe(z),
e(φ)=-sinφe(x)+cosφe(y),
の係数行列 R は基底変換(基底取替)の行列に他なりません．
正規直交基底同士の基底変換ですから，変換行列はユニタリ行列です．
今は，実ユニタリだから直交行列ですね．
実際，直交行列であることは簡単に確かめられます．
したがって，
逆変換は R^{-1} を求めればよいわけですが
(上の式に左から R^{-1} を作用させたと思えばよい)，
直交行列の逆行列は直ちに書き下ろせます．
対角成分はそのままで，右上と左下を対称に入れ換えればＯＫ．
たしかに
e(x)=sinθcosφe(r)+cosθcosφe(θ)-sinφe(φ),
e(y)=sinθsinφe(r)+cosθsinφe(θ)+cosφe(φ),
e(z)=cosθe(r)-sinθe(θ)
の係数行列と上の係数行列の関係はそのようになっています．

もちろん，KENZOU さんのご回答でいいのですが，
線形代数をちょっと知っていると瞬時に逆変換が書き下ろせるというお話でした．

お礼

詳しい解説ありがとうございます。私は確かに線形代数は習いましたが、正規直行基底については授業では触れませんでした。（というより直前で終わった…）
しかし、線形代数の知識を用いると簡単に考えられるのを知れただけでもよかったです。勉強してみます。