Z=f(x,y) x=rcosθ y=rsinθで

質問

∂^2 Z/∂x^2+∂^2 Z/∂y^2を求めよという問題で

∂/∂x = cosθ ∂/∂r ‐ sinθ/r ∂/∂θ
∂/∂y = sinθ ∂/∂r + cosθ/r ∂/∂θ
と計算していき
∂^2 Z/∂x^2
= (∂/∂x)(∂/∂x)Z
= cos^2 θ ∂^2 Z/∂r^2 - cosθ ∂/∂r[sinθ/r Z/∂θ] - sinθ/r ∂/∂θ[cosθ ∂Z/∂r] + sinθ/r ∂/∂θ[sinθ/r ∂Z/∂θ]
まできて、同様に∂^2 Z/∂y^2も計算して足したのですが答えが
∂^2 Z/∂x^2+∂^2 Z/∂y^2=∂^2 Z/∂r^2-2/r ∂Z/∂r+1/r^2 ∂^2Z/∂θ^2となり解答とあいません
わかる方解説お願いします。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

2次元極座標のラプラシアンの計算ですよね！
昔各種座標系のラプラシアンの導出をやらされました。

式の変形ですけど、おかしいですね。
形式的に式変形したら第2項の係数は 1 になりました。
/∂x^2側からは　cos^2θが /∂y^2側からは sin^2θが
係数で出てくるので足して1になります。
-2なんてどこから出てきたのでしょうか？

なんとなく2重に書いてしまった項とかが有りそうです。

回答No.2

rnakamra

>∂^2 Z/∂x^2
>= (∂/∂x)(∂/∂x)Z
>= cos^2 θ ∂^2 Z/∂r^2 - cosθ ∂/∂r[sinθ/r Z/∂θ] - sinθ/r ∂/∂θ[cosθ ∂Z/∂r] + sinθ/r ∂/∂θ[sinθ/r ∂Z/∂θ]

ここまではよさそう。
ここからの展開で間違っている可能性大。

質問者のだした最後の式で間違っているのは∂Z/∂rの項だけである。この部分だけについて見てみる。
∂Z/∂rの項がでてくるのは上式の第3項からになるが、
-(sinθ/r)∂/∂θ[cosθ∂Z/∂r]=(sinθ)^2/r*∂Z/∂r-sinθcosθ/r*∂^2Z/∂r∂θ
となり、ここから出てくる∂Z/∂rの係数は(sinθ)^2/rとなります。
同様に∂^2Z/∂y^2から出てくる∂Z/∂rの係数は(cosθ)^2/rとなりこれを足すと1/rとなります。

回答No.1

IveQA

2次元のラプラシアンを極座標にするんだね。
>= cos^2 θ ∂^2 Z/∂r^2 - cosθ ∂/∂r[sinθ/r Z/∂θ] - sinθ/r ∂/∂θ[cosθ ∂Z/∂r] + sinθ/r ∂/∂θ[sinθ/r ∂Z/∂θ]
ここまではOK
最後で∂Z/∂rの係数だけ違うから
途中計算の∂Z/∂rの部分を見る。
∂^2 Z/∂x^2の∂Z/∂rの係数は(sinθ)^2/r
∂^2 Z/∂y^2の∂Z/∂rの係数は(cosθ)^2/r
となるはず。
計算ミスを見つけて欲しいなら途中計算も書かないと！