いきなり出現したe^(1/n)の意味がわかりません

質問

高校数学の範囲でお願いします。

方程式1/x^n-logx-1/e=0・・・(1)（nは自然数）がx>=1の範囲にただひとつの実数解xn（←nは右下に小さく出ています以下、snと表記します）を持つことを示し、n→∞のとき、limxsn を求めよ。

以上のような問題がありました。問題は完全に以上です。
微分して、０より小を確認しました。
f’(x)=-nx^(-n-1)-(1/x) < 0

で、単調減少なので、f（１）で０より大を確認しました。
その後、f(e^(1/n))の０より小を確認しているのですが、なんでいきなりe^(1/n)が出てきたのか意味がわかりません。

まさか、「使い勝手が良さそうだったから」っていう理由ではないですよね？
問題文は本当にそれしか書いていませんので、全くわかりません。
途方に暮れています

回答No.3

quadlike · ベストアンサー

2007年東北大(理系)の問題です。

x≧1に着目すると、x＞1 では -log(x)＜0 です。従って、x＞1 ならば
　f(x)＝x^(-n)-logx-(1/e)＜x^(-n)-(1/e)
が成り立ちます。今、f(x)＜0　となるような x を知りたいので、上の右辺を＝0 として
　　x^(-n)-(1/e)＝0　∴x＝ e^(1/n)
となって、いきなり出現したかに見えた e^(1/n) が導かれます。

一応注意しておきますが、「f(x)＝0がｘ≧1の範囲でただ1つの実数解 x_n を持つ」だけを言いたいのならば、上のようなまどろっこしい解答をしなくても、f(x)が単調減少であることから、十分大きな x で f(x)＜0 を示してやればよいです。原題(2)の
　「lim[n→∞] x_n＝1 を示せ」
につなげるためにわざわざx＝ e^(1/n)という点を求めています。

参考：
http://www.densu.jp/tohoku/07tohokusprob.pdf

お礼

回答ありがとうございます。

＞2007年東北大(理系)の問題です
問題見ただけでわかるとは・・・只者ではないですな。
おっしゃる通り、東北大と書いてました。

解説も非常に丁寧で、e^(1/n)の意味がよくわかりました。

回答No.2

f272

それではなぜf(1)を考えたと思うんだ？
1/(x^n)-logx-1/eでlx=1ならばogx=0になって使い勝手が良さそうだったからじゃないのか？
x=e^(1/n)も1/(x^n)-1/e=0になって使い勝手が良さそうだろう。

お礼

回答ありがとうございます。
まさかの使い勝手・・・。

回答No.1

Tacosan

いや, それくらいでしょう.

単調減少であることさえわかれば (それなりに大きな値であれば) なんでもよくって, 例えば x = e でもいいんだけど.

お礼

回答ありがとうございます。
ええー！！マジデスカ・・・？

驚きのあまり何も言えねえ・・・。