同値性の曖昧さ

質問

Sn=1+2x+3x^2+…+nx^n(x≠0)―(1)

とするとこの和を求めるためには両辺x倍した数列、すなわち

xSn=x+2x^2+3x^3+…+(n-1)x^n+nx^(n+1)―(2)

と辺々引いて

(1-x)Sn=1+x+x^2+x^3+…+x^n-nx^(n+1)―(3)
(1-x)Sn=(1-x^n)/(1-x)-nx^(n+1)
Sn=(1-x^n)/(1-x)^2-nx^(n+1)/(1-x)

と求められますよね？
ここで疑問に思ったのは求めたいのは(1)式の和であるのに
新たに(2)式を作ってその差をとり(3)式からSnを求めるというのは
同値性がどうなってるのかがわかりません

x≠0という条件下では(1)⇔(2)であると思います
では同値である条件どうしの差をとった(3)は一体どういうものなのでしょうか？
詳しく説明お願いします

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

要は
(1)を a=bと書いておくと、
(2)は(1)の両辺をx倍しただけの xa=xb
であって、(3)は(1)から(2)を辺々引いただけですので
(3)は結局(1-x)a = (1-x)b.
つまり(1)の両辺を(1-x)倍しただけですから、
x≠1の時(3)が(1)と同値なのは明かです。

繰り返しになりますが、(3)の右辺は(1)の
右辺を単純に(1-x)倍しただけです。つまり(3)の右辺は
(1-x)・1 + (1-x)・2x + … + (1-x)n(x^n)ですが、
それをうまく整理すると
1+x+x^2+x^3+…+x^n-nx^(n+1)… (a)になる、という
だけの事です。その「うまく整理すると(a)になる」事を
分かりやすく示すために途中に(2)を利用している
だけです。

お礼

ご回答ありがとうございます

なるほど！
疑問が氷解しました
ありがとうございました！

回答No.3

alice_44

＞　どの係数でも割れるんですから、自明でしょう。

では、伝わらなかったのかな？

x≠0 かつ x≠1 の下では、
　(1)⇒(2) 両辺に x を掛ける
　(2)⇒(1) 両辺を x で割る
　(1)⇒(3) 両辺に 1-x を掛ける
　(3)⇒(1) 両辺を 1-x で割る
ですから、
　(2)⇔(1)⇔(3)
です。

お礼

再びご回答ありがとうございます

納得できました
ありがとうございます

お二方をベストアンサーにしたいのですが
そういうわけにも行かないのでよりわかりやすかった
No.2さんをベストアンサーにさせていただきます

回答No.1

alice_44

曖昧でも複雑でもないでしょう。
ただ、場合分けが必要なだけです。

x≠0 かつ x≠1 の下では、
(1), (2), (3) は皆、同値です。
どの係数でも割れるんですから、自明でしょう。
x=1 の場合は、(3) ⇔ 0=0 ですから、
これは、(1), (2) と同値ではありません。
敢えて言えば、(3) が (1), (2) の必要条件
ですが、言ってみてもツマラナイですね。

補足

ご回答ありがとうございます

x≠0かつx≠1のもとで明らかに(1)⇔(2)なのは分かりますが
同値である条件同士の差の(3)は何故(1)、(2)と
同値になるかいまいちわかりません

x≠0∧x≠1のもとで
(1)かつ(2)
⇔(1)-(2)かつ(1)　(もしくは(1)-(2)かつ(2))
⇔(3)かつ(1)　（もしくは(3)かつ(2)）
となりませんか？