デルタ関数

質問

http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Sec5.pdf
のpdfファイルのページ数で5-6ページ、pdfの下部に振られている番号で77-78ページ、に書かれていることについて質問です。

δ_n(x)=(√(n/π))e^(-nx^2)
とし、δ(x)=lim[n→∞]δ_n(x)
とする。

1つめ。
関数f(x) を無限回連続微分可能で、かつ|x|→∞にした時、任意のNで定義される|x|^(-N) より早く0 になる関数(急減少関数) であるとする。例えば|x|の充分大きいところでexp(-x^2) の様に振る舞うと考えればよい。この時
∫[-∞→∞]f(x)δ (x)dx＝lim[n→∞]∫[-∞→∞]f(x)δ_n (x)dx＝f(0)
であることが示される。

と、記載されているのですが、何故このように言えるのでしょうか？

2つめ。
充分大きいn について、 δ_n(x) はx = 0 を中心とした非常にせまい範囲内でのみ0 でない値をとる。したがってf(x) はx≒0付近での値だけが寄与して
∫[-∞→∞]f(x)δ_n (x)dx≒f(0)∫[-∞→∞]δ_n (x)dx＝f(0)
となるからである。

と記載されていますが、何故
∫[-∞→∞]f(x)δ_n (x)dx≒f(0)∫[-∞→∞]δ_n (x)dx
のような、式変形が可能なのでしょうか？

3つめ。
もう少し厳密な形で書くなら次のように示せばよい:
　|∫[-∞→∞]f(x)(√(n/π))e^(-nx^2)dx-f(0)|
＝|∫[-∞→∞]{f(x)-f(0)}(√(n/π))e^(-nx^2)dx|
≦Max|f^(1)(x)|∫[-∞→∞]|x|(√(n/π))e^(-nx^2)dx

と、記載されていますが、何故、
|∫[-∞→∞]{f(x)-f(0)}(√(n/π))e^(-nx^2)dx|≦Max|f^(1)(x)|∫[-∞→∞]|x|(√(n/π))e^(-nx^2)dx
と、言えるのでしょうか？

宜しくお願いします。

回答No.1

orcus0930 · ベストアンサー

一つ目を説明するための2つ目、3つ目なので、
1つ目を直感的に理解するなら2つ目の説明でいいし、
ちゃんと理解するなら、3つ目を使おうという感じ。

2つ目は、x=0の非常に近い近傍だから、近傍では、f(x)≒f(0)と近似できるだろうと考えて、fは一定と考えるから、積分の外に出て、・・・・・・という感じ。

3つ目は、平均値の定理を使う。
|∫[-∞→∞]{f(x)-f(0)}(√(n/π))e^(-nx^2)dx|
=|∫[-∞→∞]{(f(x)-f(0))/x}* x(√(n/π))e^(-nx^2)dx|
と変形して、
(f(x)-f(0))/xの部分が平均値の定理の形をしている。
不等式で上から抑えたいので、Maxをつかう。
また、一般に定積分では、
|∫f(x)dx|≦∫|f(x)|dx
であることを使えばいい。

お礼

解答有り難うございます。

平均値の定理を使っていたんですね。
どうも有り難うございました。