ｎ次導関数

質問

f(x)=1/(1-x^2)のｎ次導関数を求めよ、という問題についてです。

f(x)=1/(1-x^2)=1/{(1+x)(1-x)}=1/2{1/(1+x)-1/(x-1)}
f'(x)=-1/2{1/(1+x)^2-1/(x-1)^2}
f''(x)=1/(1+x)^3-1/(x-1)^3
f'''(x)=-3{1/(1+x)^4-1/(x-1)^4}

以上の結果より、
f^n(x)=1/2*n!*(-1)^n*{1/(1+x)^(n+1)-1/(x-1)^(n+1)}

・・・以上のように解答しました。
結果はバツでした。どうすればよかったのでしょう？

回答No.1

graduate_student · ベストアンサー

数学的帰納法を使えばよかったのではないですか？
単に微分をしていって，f^n(x)=1/2*n!*(-1)^n*{1/(1+x)^(n+1)-1/(x-1)^(n+1)}
でしたっていうのはダメだと思います．

お礼

なるほど・・・。帰納法で証明ですよね。それなら次こそ丸をもらえそうです。やってみますね。

回答No.2

onakyuu

Ｎｏ１様が言うように数学的帰納法をつかっておけば
○がもらえたでしょう。

もし、数学的帰納法が必要でないと思われるなら、
むしろこう書かないといけないのです。

f(x)=1/2{1/(1+x)-1/(x-1)}
ゆえに
f^n(x)=1/2*n!*(-1)^n*{1/(1+x)^(n+1)-1/(x-1)^(n+1)}

これで○がもらえるかどうかは先生しだいなのですが、
つまり途中の３行はあきらかに蛇足です。

お礼

たぶん、そのように記述しても丸はもらえなかったと思います。（丸をくれない先生なんです。笑）
f^n(x)=1/2*n!*(-1)^n*{1/(1+x)^(n+1)-1/(x-1)^(n+1)}
という式は合っているようなので、帰納法で証明します。