期待値？平均？意味不明！

質問

統計の勉強をしていて？？？？な内容に出くわし困惑しております。どなたかお知恵をお貸しください。

E(a1X1+a2X2+.....+anXn)=a1E(X1)+a2E(X2)+...+anE(Xn)・・・・(1)
X1,X2,....,Xnが独立ですべて期待値μ、分散σ^2の同一分布に従い"a1=a2=...=an=1/n"の時
E(X1)=E(X2)=....=E(Xn)=μ
E(X1/n+X2/n+....+Xn/n)=μ/n+μ/n+...+μ/n=μ
X~=(X1+x2+....+Xn)/nとすると
E(X~)=μ
これまではいいんですが後に
(1)の性質で"X1,X2,.....,Xn"が独立でどれも平均μとすると
E(X~)=E(X1/n+X2/n+....+Xn/n)
=E(X1)/n+E(X2)/n+...+E(Xn)/n
=μ/n+μ/n+.....μ/n=μ
と書いてありました。
μっていったい期待値なんでしょうか？平均なんでしょうか？それともどちらでもこのE(X~)=μは成立するのでしょうか？
μが平均の場合はなぜE(Xk)=μ(kは第k項の意味です)とできるのか理由も付けて教えてください。
読みにくくてすみませんがよろしくお願いします。

回答No.3

keyguy · ベストアンサー

X~:
(2+3)/2=5.5,
(2+6)/2=4,
(2+9)/2=4.5,
(3+6)/2=4.5,
(3+9)/2=6,
(6+9)/2=7.5
よって
E(X~)=(5.5+4+4.5+4.5+6+7.5)/6=5
一方
E(X)=(2+3+6+9)/4=5

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

oshiete_goo

期待値の線形性
E(X+Y)＝E(X)＋E(Y)　・・・（１）
E(cX)＝cE(X)　[cは定数]・・・（２）
より，
確率変数X1,X2,.....,Xnの平均が全てμとすると，独立であろうと無かろうと
E(X~)＝E(X1/n+X2/n+....+Xn/n)
＝E(X1/n)+E(X2/n)+...+E(Xn/n)　(∵（１）)
＝E(X1)/n+E(X2)/n+...+E(Xn)/n 　(∵（２）)
＝μ/n+μ/n+.....+μ/n
＝μ
が成立します．(つまり「独立」の条件は期待値には不要．ただし分散には関係あり．)

補足

言いたいことはkeyguyさんの補足と同じ内容なんですがoshiete_gooさんも答えてだ下さるとありがたいです。

回答No.1

keyguy

μはXnの期待値＝平均です。
E(X~)はX~の期待値＝平均です。
E(X~)＝μは成立します。
なぜE(Xk)=μ？そう定義されているからです。

補足

定義・・・ですか・・・・。
章末問題にこれに関係があると思われる問題があって"定義"ってだけで片付けられない問題があるんですよ。具体的にどうすればよいのでしょうか？

4個の整数2,3,6,9から成る母集団とそこから復元抽出によるサイズ2の標本を考えたとき
E(X~)=μを確かめよ。

とあるのですが解答は"省略"となっていてわからないんですよ。