ｎ回導関数の問題がわかりません

質問

数学の参考書の問題の
　x^3logｘのｎ回導関数を求める問題なんですが、
(与式)=x^3(logx)^n＋3nx^2(logx)^n-1+
　　　　6n(n-1)x(logx)^n-2+6n(n-1)(n-2)(logx)^n-3
になるのはわかるのですが、
(logx)^nの求め方がわかりません。
(logx)^nの求め方を教えてください。

回答No.1

s_t_a_ · ベストアンサー

(logx)^(n)の求め方ですが、基本的に１、２回微分してみて予想し、帰納法で証明するという手順をとると思います。まぁ、回答では２回くらい微分して「以下帰納法により」とでも書けばいいかと。

(logx)'=x^(-1)
(logx)''=(-1)x^(-2)
(logx)'''=2x^(-3)

以下同様にして、数学的帰納法により、

(logx)^(n)=(-1)^(n-1)・(n-1)!・x^(-n)

ですね。

あとはライプニッツの公式から求めたｎ次導関数の式に入れれば大丈夫かと。

ちなみにライプニッツの公式を使わなくて解くと、

y=x^3logx　とおく。
n=1のとき、y'=3x^2logx+x^3・1/x=3x^2logx+x^2
n=2のとき、y''=6xlogx+3x^2・1/x+2x=6xlogx+5x
n=3のとき、y'''=6logx+6x・1/x+5=6logx+11
n=4のとき、y^(4)=6x^(-1)
n≧5のとき、y^(n)=(y^(4))^(n-4)であるから、
(x^(-1))^(n)=(-1)^n・n!・x^(-n-1)
（＊これは帰納法で証明しておく）
のnの代わりにn-4を入れて、
(-1)^(n-4)=(-1)^nを使えば、

y^(n)=6・(-1)^n・(n-4)!・x^(-n+3)

これが答えですね。

分かりやすいようにn≧5からやりましたが、n≧4から、上で示した
(logx)^(n)=(-1)^(n-1)・(n-1)!・x^(-n)
を使ってもよいです。

ちょっと添え字が多くて分かりにくいかもしれませんが、こんな感じです。分かりづらい点があればまた質問してください。勉強頑張ってください。

お礼

ライプニッツの公式を使わなくても解けるんですね。
(n-1)!というのは気づきませんでした。
わかりやすい回答ありがとうございます。