大学１年レベルの関数列に関する問題です

質問

f_n(x)＝xn・e^(-xn^2)のとき、[0,1]上でf_nは各点収束するか、一様収束するか？という問題なのですが、私は

ロピタルの定理より、各x∈Ｉに対して、|xn・e^(-xn^2)|→０（n→∞）を得るのでf(x)=0に各点収束する。
また、ある正の数εがあって、sup(f_n(x)-f(x))=1/e＞ε(n→∞)より０に一様収束しない。
結局f_n(x)はf(x)=0に各点収束。

としました。しかし
lim∫[0,1]f_n(x)=∫[0,1]f(x)＝０となりました・・・※

そこで思ったのですが、
f_nがｆに[0,1]上一様収束ならば※が成り立つのは明らかですが、各点収束でもなりたつことはあるのでしょうか？もしないのなら上の解答が間違ってることになりますよね・・

どなたか回答よろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

f_n が ｆ に [0,1] 上一様収束ならば、※ が成り立つ
⇔　f_n が ｆ に [0,1] 上一様収束でない、または、※ が成り立つ

各点収束で ※ が成り立っても、オカシイことは何もありません。

お礼

回答ありがとうございます！
助かりました。

回答No.1

naozou

一様収束の場合の積分と極限の交換（または積分の連続性）を気にしているのですよね？各点収束でも積分と極限の交換ががなりたつ場合はありますよ。fn(x) = x^n を [0, 1] で考えるとか。

お礼

回答ありがとうございます！
参考にさせていただきます。