一様収束か否かの判定の決め手は?

質問

こんにちは。

[問]数列{nxe^(-n(1+x^2))}は(0,∞)で一様収束するが{nxe^(-nx^2)}は(0,∞)で一様収束しない。
という問題ですが何から手をつければいいのか分かりません。

もし[a,∞)(a>0)なら
(i) a≦x(0<a<1)の時
0<na<nx<n,0<e^(na^2)≦e^(nx^2)<e^nよりnx/e^(nx^2)<n/e^(na^2)→0なのでnx/e^(nx^2)→0.
従って∃L1∈N;a≦∀x<1,L1<n⇒|0-f_n(x)|<ε
(ii) x=1の時
n/e^n→0より∃L2∈N;L2<n⇒|0-fn(x)|<ε
(iii) 1<xの時
0<n<nx<nx^2よりnx/e^(nx^2)<nx/e^(nx)→0でnx/e^(nx^2)→0
従って,∃L3∈N;L3<n⇒|0-fn(x)|<ε
(i),(ii),(iii)からL:=max{L1,L2,L3}と採れば∀x∈[a,∞),L<n⇒|0-fn(x)|<ε
となるかと思いますが
区間(0,∞)の場合はどうやって(0,∞)で一様収束するが{nxe^(-nx^2)}は(0,∞)で一様収束しない事をいえば言いの代わりません。

回答No.1

hugen

max(0,∞)nxe^(-n(1+x^2))　→　0　　；　一様収束
max(0,∞)nxe^(-nx^2)　→　∞　　；　　一様収束しない

お礼

前半について
lim[n→∞]{nxe^(-n(1+x^2))}=0
でf(x)=nxe^(-n(1+x^2))と置くと,f'(x)=0の時,x=1/√2で増減表を書くと
x=1/√2の時,最大値を採る。
即ち,f(x)≦n/√2e^(3n/2) (∀x∈(0,∞))…(1)
lim[n→∞]n/(√2e^(3n/2))=0,0<∀ε∈R,∃L∈N;L<n⇒|n/(√2e^(3n/2))-0|<ε
(1)より,0<∀ε∈R,∃L∈N;∀x∈(0,∞),L<n⇒|n/(√2e^(3n/2))-0|<ε.
∴ 一様収束
後半について
0<∃ε∈R such that ∀L∈N,∃x∈(0,∞);L<n⇒nx/e^(nx^2)≧ε
ここでf(x):=nx/e^(nx^2)とするとf'(x)=0の時x=1/√(2n)で
√n/√(2e)は(0,∞)で最大値。そしてf(1/√(2n))=√n/√(2e)≧1/√(2e).
従って,ε:=1/√(2e)と採れば∀L∈N,L<n⇒(f(1/√(2n))=)|√n/√(2e)-0|≧ε
∴ 一様収束でない

と上手くいきました。