数学 旧帝大の問題 質問です…

質問

（問題）
方程式x^(-n)-logx-(1/e)=0　（ｎは自然数）
が、ｘ≧1の範囲でただ1つの実数解Xnを持つことを示し、
lim[n→∞]Xn
を求めよ。

解答途中で
（与式）=f(x)として、ｆ（１）＞０かつｆ（e^1/n）<0

となっていたんですが、ｆ（１）＞０は条件のｘ≧1の範囲から来たものだと思うんですが、ｆ（e^1/n）<0の（e^1/n）はどこから出てきたもの何でしょうか？

唐突に出現して意味不明なので教えてください！！

回答No.2

quadlike · ベストアンサー

2007年の東北大の問題です。

x≧1に着目すると、x＞1 では -log(x)＜0 です。従って、x＞1ならば
　f(x)＝x^(-n)-logx-(1/e)＜x^(-n)-(1/e)
が成り立ちます。今、f(x)＜0　となるような x を知りたいので、上の右辺を＝0 として
　　x^(-n)-(1/e)＝0　∴x＝ e^(1/n)
となって、唐突に出てきたように見えた e^(1/n) が導かれます。

一応注意しておきますが、「f(x)＝0がｘ≧1の範囲でただ1つの実数解 x_n を持つ」だけを言いたいのならば、上のようなまどろっこしい解答をしなくても、f(x)が単調減少であることから、ただ普通にlim[x→∞] f(x) を調べてやればよいです。原題(2)の
　「lim[n→∞] x_n＝1 を示せ」
につなげるためにわざわざx＝ e^(1/n)という点を求めています。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

示したいことは、
「y＝ f(x)のグラフが、どこか 1か所だけで x軸を横切っている」ことですね。
そのためには、「正の値をとる点」「負の値をとる点」「単調な変化をすること」を示すことになります。

ところで、f(x)の式は 3つの項の加減から作られているので、
2つを差で「消してしまう」ことで値の正負を判断しやすくなります。
と考えると、「消える項」の候補は
１) 1/x^nと log(x)
２) log(x)と 1/e
３) 1/eと 1/x^n

となり、
１)は解けない。
２)のときは f(e^(1/e))＞ 0となってしまう。
３)のときは f(e^(1/n))＜ 0になる！

と負になる値を探し出すことができます。

「うまく見つけだしている」ところがあるので、唐突に見えてしまうところもありますね。＾＾；

お礼

回答ありがとうございますぅ。