lim[n→∞]∫[0～1]f_n(x)dx=∫[0～1]f(x)dxが示せません

質問

宜しくお願いいたしました。

[問]各n∈Nに対し,f_n(x)=nx/(1+nx),x∈[0,1]とする。
数列{f_n}は[0,1]で積分可能関数fには各点収束するが一様収束しない事を示せ。
そしてlim[n→∞]∫[0～1]f_n(x)dx=∫[0～1]f(x)dxとなる事を示せ。

で「lim[n→∞]∫[0～1]f_n(x)dx=∫[0～1]f(x)dxとなる」が示せずに困っています。

f(x)=
1/e (x=1の時)
1 (0<x<1の時)
0 (x=0の時)

と積分可能関数fが求めました。

でも
0<x<1の時
lim[n→∞]∫[0～1](f(x)-f_n(x))
=lim[n→∞]∫[0～1](1-nx/(1+nx))dx
=lim[n→∞]∫[0～1](1/(1+nx))dx
=lim[n→∞][-n/(1+nx)^2]^1_0
=lim[n→∞](-n/(1+n^2)+n)

となり0になりません。何か勘違いしておりますでしょうか?

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

＞　lim[n→∞]∫[0～1](f(x)-f_n(x))
＞　・・・
＞　=lim[n→∞]∫[0～1](1/(1+nx))dx
＞　=lim[n→∞][-n/(1+nx)^2]^1_0

∫[0～1](1/(1+nx))dx = [-n/(1+nx)^2]^1_0 ですか？勘違いでしょう。
(1/n) log(1+nx)

お礼

>(1/n) log(1+nx)
失礼致しました。勘違いでした。

どうも有り難うございました。

回答No.2

kumipapa

ところで、
＞　f(x)=
＞　1/e (x=1の時)
??? なぜに
{n/(1+n)}^n → 1/e だけど、f_n(1) = n/(1+n) → 1/e ではないですよね。私の勘違い？

お礼

失礼致しました。勘違いでした。

どうも有り難うございました。