複素積分 ｎ乗

質問

∫{z + (1/z)}^2n dz
と
∫{z + (1/z)}^2n+1 dz　
では答えが違います。留数定理を用いて解くのですが、n乗を微分するところで躓いています。どうか教えてください！！

ちなみに範囲は|z|=10です。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>それは被積分関数をそのままの形で二項展開するのですか？
それとも{(z^2+1)/z}^(2n)の形にし、(z^2+1)^(2n)のとこを二項展開するのでしょうか？

どちらでも良い。
後者なら
展開後、z^(2n)で割れば、前者と同じになります。
いずれでもローラン展開が得られます。

積分に関係するのは展開後の(1/z)の項だけ。
その係数が留数です。

nが自然数の偶数なら
(z+(1/z))^(2n)の展開項には 1/zの項が存在しないので
積分路|z|=10内に一位の極（一位の特異点）が存在しない。
従って留数Res((z+(1/z))^(2n),0)=0なので留数定理より
　∮{z + (1/z)}^2n dz＝０
となります。

nが自然数の奇数なら
(z+(1/z))^(2n+1)の展開項には 1/zの項が存在しその係数は二項係数を使えば
　(2n+1)Cn=(2n+1)!/(n!(n+1)!)
となります。
積分路|z|=10内に一位の極（一位の特異点）はz=0だけで
従って留数Res((z+(1/z))^(2n+1),0)=(2n+1)!/(n!(n+1)!)
であるから留数定理より
　∮{z + (1/z)}^(2n+1) dz＝2πi*(2n+1)!/(n!(n+1)!)
となります。
複素積分＝０となります。

回答No.5

ereserve67

被積分関数を

f(z)=(z+1/z)^m=(1+z^2)^m/z^m (m=0,1,・・・)

とおきます．

>n乗を微分する・・・

ということは，m≧1のときf(z)はz=0にm位の極をもちますから，公式

（☆）∫_{|z|=10}f(z)dz=2πid^{m-1}{z^mf(z)}/dz^{m-1}|_{z=0}

で出そうとするとき，

d^{m-1}{z^mf(z)}/dz^{m-1}

の計算をしようとしてうまくいかないのですね．そういう時は級数展開（この場合二項展開）

(★)z^mf(z)=(1+z^2)^m=Σ_{k=0}^mmCkz^{2k}

のz^{m-1}の係数がd^{m-1}{z^mf(z)}/dz^{m-1}|_{z=0}になります．それは2k=m-1として，

mC_{(m-1)/2}z^{m-1}

の項の係数

(1)mC_{(m-1)/2}=m!/[{(m-1)/2}!{(m+1)/2}!]

になります．ただし，mは奇数でなければなりません．m=2n+1のとき(1)は

(2n+1)!/{n!(n+1)!}

となりますから，

∫_{|z|=10}(z+1/z)^{2n+1}dz=2πi(2n+1)!/{n!(n+1)!} (n=0,1,2,・・・)

mが偶数のときは2つの場合に分けます．

[1]m=0のとき，f(z)=1は全平面で正則で極ももちませんのでCauchyの積分定理より

∫_{|z|=10}f(z)dz=0

[2]m=2,4,・・のとき，☆の公式でもとめようとするとき，m-1が奇数であるため展開★ではz^{m-1}の係数は0です．ゆえに

∫_{|z|=10}f(z)dz=0

まとめると，

∫_{|z|=10}(z+1/z)^{2n+1}dz=2πi(2n+1)!/{n!(n+1)!} (n=0,1,2,・・・)

∫_{|z|=10}(z+1/z)^{2n}dz=0 (n=0,1,2,・・・)

となります．

お礼

皆さんにお礼をさせていただきたいのですがちょっと時間が無いのでこちらの方で失礼させていただきます。

二項係数を用いれば1/zの係数わかりますね！やっとわかりました！

皆さん丁寧な回答ありがとうございました！

回答No.4

alice_44

どっちでも同じ。
(zz+1)の2n乗 を二項展開してから、
分母 zの2n乗 を分子の各項に分配しても、
直接 (z + 1/z)の2n乗を展開したのと
同じ式になる。当然でしょう？
要するに、ベキ展開したときの
-1 乗項の係数が判ればいいだけです。
一度通分したり、展開してから
また分解したりするのは、余計な手間
だと思うけど、やって悪いことはない。

あと、偶数次のほうは、展開しても
1/z の項は現れないから、それを
0/z と読み取ることが必要かな。

回答No.3

info22_

No2です。

ANo2の最後の行の

「複素積分＝０となります。」

は消し忘れですので
削除願います。

回答No.1

alice_44

「n乗を微分」する必要はない。
被積分関数を二項定理で展開すれば、
ローラン展開が得られるから、
後は、留数定理で積分が求まる。

補足

回答ありがとうございます！
それは被積分関数をそのままの形で二項展開するのですか？
それとも{(z^2+1)/z}^2nの形にし、(z^2+1)^2nのとこを二項展開するのでしょうか？