留数を使った複素解析の積分で

質問

∫（C）{（Z+3）^2/z^2}dz(C:z=2e^it)
という問題で留数をつかって積分するというものなんですが、類題で、∫(C){e^z/(z-3)(z-1)}dz(C:z=2e^it)というのは、特異点が１と３で、最後に代入してうまくいくのですが、上の問題の場合、０ですよね・・。で、式をΓ1とΓ２に分けた時1/zがでてきてコレに０を代入するってできないし答えも変だしでちょっと分かりません。スイマセンが分かる方よろしくお願いします。

回答No.4

aqfe · ベストアンサー

留数の定理を使うときには分子にzが入ったらダメですよ。
あと、この問題の場合特異点は0だけですので経路を分けなくていいです。

この場合は、部分分数に分解して、

(z+3)^2 / z^2
= ( 1 + 3/z )^2
= 1 + 6/z + 9/z^2
（↑分子に定数項のみ(zがない)）

１項と３項は０になる(コーシーの積分定理)ので、6*2πi=12πiです。

お礼

なるほどです。式をバラすのですね。留数の定理にｚが入ったらダメなのも初めて知りました。
ご回答ありがとうございました。

回答No.5

noname#14584

1. 留数はローラン展開の(z-a)^(-1)の係数を見ればよいのでした．
2. 留数と積分値の関係は留数定理によって示されていますから，積分値はすぐに求められます．

お礼

ローラン展開とか習っていないんです・・。
なんだか教科書のやり方と先生のやり方が微妙にちがいような気がして困っていました。
どうもご回答ありがとうございました。

回答No.3

ojisan7

ヒントのみ示しますので、あとは、自分で考えて下さい。
被積分関数は０が位数２の極になっています。積分路の内部に極があります。被積分関数の式を変形して、
(Z+3）^2/z^2＝(z^2+6z+9)/z^2＝1+(6/z)+(9/z^2)
ですから、極0における留数は1/zの項の係数を見れば、一目瞭然です。

お礼

よく分かりました。ご回答ありがとうございました。

回答No.2

endlessriver

＃１です。失礼しました。求めるのは
b_-1でした。

回答No.1

endlessriver

1/z^2は２次の極ですから、z=aにおけるk次の極の留数は公式
Res[f(z),a]={1/(k-1)!}lim[z->a]{d^(k-1)/dz^(k-1)}[{(z-a)^k}・f(z)]
となりますが、複雑なので級数展開したときの
f(z)=b_-k/(z-a)^k+...+b_-1/(z-a)+b_0+b_1(z-a)+...
のb_1を求めればよいのです。

よけいなことですが、∫(C){e^z/(z-3)(z-1)}dz(C:z=2e^it)では内部に　z-3は入っていませんので計算対象外です。

お礼

よく分かりました。ご回答ありがとうございました。