複素積分の解き方がわかりません

質問

円周 |z - 1| = 1 上で反時計回りに複素積分を行い、
∫( z^n / (z - 1)^n )dz
の値を求めよという問題がわかりません。

|z - 1| = 1より、
C : z = 1 + exp(iθ)
であり、線積分の公式
∫{C} f(z)dz = ∫{a→b} f(z(t))z'(t) dt
(ただし、{}は積分範囲)
という公式を当てはめると、
∫{π→0} ( (1 + exp(iθ))^n/(exp(iθ))^n ) × iexp(iθ) dθ
と考えたのですが、この積分を解くことができません。それとも、それ以前で間違えているのでしょうか？

わかる人がいれば詳しく教えていただけるとありがたいです。回答よろしくお願いします。

回答No.7

arrysthmia

だから、ロピタルなんて必要無いって。
コーシーの積分定理から留数定理を証明する
ときに、被積分関数をローラン展開したでしょう？
質問の問題のように、被積分関数が有理式ならば、
部分分数分解するだけで、全ての極に関する
ローラン展開の主要部が一気に求まるから、
後は、項別積分するだけです。
留数定理にこだわるから、不自然に込み入った
手順になる。

…と、思ったら、No.2 補足に
n 乗を展開すると無限項になる
とか、書いてあるな。
n は非整数ってこと？
それならそれで、一般二項定理がローラン展開の
タネになるだけだけど。

回答No.6

rnakamra

#3のものです。

#3で行っている指摘は回答者に対して行っているの者ではない。
質問者が間違っているものをそのまま信じ込むことを避けるために行っています。
ご気分を害しましたのなら申し訳ありません。

ただ、一言言わせてもらいます。
>lim[z→1]z^n/(z-1)^(n-1)
この式はn≧2では収束しません。z→1で分母→0であり分子→1ですから収束しないのです。
このように、分母が0に収束しかつ分子が0に収束しないものについてロピタルの定理は適用できないのです。
これは、元の式をz=1の周りでローラン展開したときに絶対値が2以上の負のべきの項があるので、その項を除いておく必要があるからです。
この項を除いた後で極限を求める際にはロピタルの定理を使用することになると思います。

回答No.5

info22

#1,#3です。
#4さんの追記補足がありましたのでそのことに対して補足します。
>2箇所致命的な誤りがあります。
n=1の場合はロピタルを使う以前に留数1が出ますので
ロピタルを使ゥ必要などないでしょう。
(n-1)回ロピタルを使うと言うことはn=1の場合0回、つまりロピタルを
つかう必要がないことぐらい分からないらしい。

当然nは2以上の場合についてロピタルを使うこと位のことが理解できないらしい。

そんな他人の補足解答に「2箇所致命的な誤り」と決め付けて優越感に浸りたいのでしょうか？
ただ質問者の質問や補足質問だけにに対して解答していればいいかと思います。

回答No.4

rnakamra

∫( (1 + exp(iθ))^n/(exp(iθ))^n ) × iexp(iθ) dθ
この式を変形していきましょう。
(積分の範囲がおかしいのでこちらで勝手に判断して|z-1|=1を反時計回りに1周積分するものとして計算します。)

{1+exp(iθ)}^n=Σ[k=0→n]nCk*{exp(iθ)}^k=Σ[k=0→n]nCk*exp(ikθ)
ですので与えられた積分は、
∫[0→2π]Σ[k=0→n]nCk*exp(ikθ)/exp(inθ)*iexp(iθ)dθ
=i∫[0→2π]Σ[k=0→n]nCk*exp{i(k-n+1)θ}dθ
=iΣ[k=0→n]nCk∫[0→2π]exp{i(k-n+1)θ}dθ

ここで
∫exp{i(k-n+1)θ}dθ
の不定積分は、k-n+1=0の場合とk-n+1≠0の場合で異なります。(積分定数は無視します)
k-n+1=0つまりk=n-1の場合
∫exp{i(k-n+1)θ}dθ=∫1*dθ=θ→∫[0→2π]exp{i(k-n+1)θ}dθ=2π
k-n+1≠0つまりk≠n-1の場合
∫exp{i(k-n+1)θ}dθ=exp{i(k-n+1)θ}/{i(k-n+1)θ}→∫[0→2π]exp{i(k-n+1)θ}dθ=2π=0

つまり、この定積分はk=n-1の項だけが0以外の値を持ちます。
iΣ[k=0→n]nCk∫[0→2π]exp{i(k-n+1)θ}dθ=i*nC(n-1)*2π=2πni
となります。

追記
#3の回答について
2箇所致命的な誤りがあります。
>Res[z^n/(z-1)^n,1)=lim[z→1](z-1)z^n/(z-1)^n
n(≠1)位の極の場合、この式は正しくない。第一この式の右辺は収束しない。
>lim[z→1]z^n/(z-1)^(n-1)
>ここで、ロピタルの定理を(n-1)回適用すれば
収束しないことが明らかなもの(分母→0,分子→1)に対してロピタルの定理は適用不可。もし適用できるのであればlim[x→0]1/xが0に収束してしまうことになります。

次のような方法でも留数を計算できます。
z^n/(z-1)^n={(z-1)+1}^n/(z-1)^n
=Σ[k=0→n]nCk(z-1)^k/(z-1)^n
=Σ[k=0→n]nCk(z-1)^(k-n)

留数とは(z-1)^(-1)の係数のことですから、k-n=-1→k=n-1の係数が求める留数。
Res(z^n/(z-1)^n,z=1)=nC(n-1)=n

回答No.3

info22

#1です。
A#1の補足の質問の回答
>[5]の(2)の留数の値を使うことになると思い、次数がnだからn位の極なのだろうという安易な考えで計算したところ、回答通り留数としてnが求まりました。
計算過程を書いていただいてないので正しいかどうか判断できません。

質問の問題の場合、[5]の(2)を適用するとm=1,f(z)=z^n/(z-1)^n,a=1,
(m-1)!=0!=1,(m-1)=0なので(m-1)回微分はなしになります。
つまり[5]の(2)式を適用して留数を求めると
Res[z^n/(z-1)^n,1)=lim[z→1](z-1)z^n/(z-1)^n
=lim[z→1]z^n/(z-1)^(n-1)
ここで、ロピタルの定理を(n-1)回適用すれば
=lim[z→1] n!z/(n-1)!=lim[z→1] nz
=n
と留数の値が出てきます。

回答No.2

arrysthmia

t = z - 1 と変数変換して
分子を二項定理で展開した後、
項別に積分すると吉。

補足

それも考えたのですが、n乗の二項定理を行うと項が無限になりませんか？

回答No.1

info22

あくまで線積分で積分しないとダメですか？

コーシーの積分公式または留数定理を使って積分するのはダメですか？

良ければ、留数を求めれば積分できてしまいますが？
あるいはコーシーの積分公式から積分を求めても良いですが、
どちらもたいした違いはありません。

留数は求められますか？
res(z^n/(z-1)^n,z=1)=n

参考
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/100cmp.html
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0

補足

留数定理については、ほとんど何も知らないのですが、
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/100cmp.html
を見たところ、この問題ではおそらく[5]の(2)の留数の値を使うことになると思い、次数がnだからn位の極なのだろうという安易な考えで計算したところ、回答通り留数としてnが求まりました。

この考え方は正しいのでしょうか？極の求め方についても詳しく知りたいので、そちらも教えていただけるとありがたいです。