複素積分の問題です。

質問

教科書の問題からの抜粋ですが、答えが省略されていて分かりません。私のやり方と答えで良いのでしょうか？教えて下さい。

問、(2z+1)/(z^2-1)を次のかく点を中心とし、半径1の正方向の円に沿って積分せよ。
(1), z=1/3
(2), z=i

答え、　
(1), z=1/3を中心として半径1の正方向の円にそっての積分範囲は、C={ z｜-2/3≦ｚ≦4/3 } であり、
与式=∫c(2z+1)/(z^2-1)dz=∫c(2z+1)/(z+1)*1/(z-1)dz　と書ける。
ここで(2z+1)/(z+1)は曲線Cの内部で正則なので、コーシーの積分公式より　z=1　と置いて、
∫c(2z+1)/(z+1)*1/(z-1)dz=2πi*(2*1+1)/1+1=3πi

(2), z=iを中心として半径1の正方向の円に沿っての積分範囲は、C={ z｜0≦ｚ≦2i } であり、
与式=∫c(2z+1)/(z^2-1)dz=∫c(1/z)*(2z^2+z)/(z^2-1)dz と書ける。
ここで(2z^2+z)/(z^2-1)は曲線Cの内部で正則なので、コーシーの積分公式より　z=0 と置いて、
∫c(1/z)*(2z^2+z)/(z^2-1)dz=2πi*0=0

特に(2)は自信がありません。以上お願いします。

回答No.5

kabaokaba · ベストアンサー

No.2, 4です

>「複素解析」の良い参考書を探しておりました。

てっきり理工系の大学生さんだと思ってました
アールフォルスは多分大きな本屋さんに行っても
売ってません．
東京でも専門の本屋にあるかないか・・・
アールフォルスの本は数学の専門書です．
工学に使うような実践的なものでしたら
複素解析の問題集とかがありはずです
amazonとかで検索してみてください

複素関数 理工系の数学入門コース
表 実 (著)
岩波書店

これなんかは入手しやすくて，読みやすくて
入門的なことは一通りでてます
少し物足りないかもしれませんが

お礼

お早うございます。重ね重ねご親切な回答を頂きましてありがたく思っています。

実はもう数ヶ月で還暦を迎えるおじんです。(^_^) 高校卒と同時に家業を継ぎました。電気にあまり縁の無い仕事でしたが、時代の流れで電気の知識が必要になり現在に至ったという訳です。

一昨年教養課程程度の物理の教科書{理工教養物理学I,II(培風館)}と物理の数学10(岩波基礎物理シリーズ)を一通り読み終えたのですが、数学の力不足を補おうと現在は工科の数学シリーズ4複素関数(培風館、昭和59年版ですので超古いですね(笑い)をやっているという次第です。

例題の解説も丁寧で自分には向いていると思っていますが、答えの省略した問にはしょっちゅう悩まされています。

教えて頂きました本にも折りを見て目を通してみたいと思います。これからもたびたび質問させて頂きますのでその際は宜しくお願いしますね。有難うございました。

回答No.4

kabaokaba

No.2です

\intは積分記号
_は下つき添え字，^は上付き添え字
\le は小なりイコール
\ge は大なりイコール

です．数学の論文を書くのに必須のTeXの記法です

ちなみに(1)ですが，留数定理を使うのに
部分分数展開することはないですよ．

気合があれば，数学科の複素解析の教科書としては
定番中の定番である
アールフォルスの「複素解析」を
読むとよいかもしれません．
＃和訳は練習問題の解がついてるのですが
＃日本語があまり読みやすくなく・・原著の方は
＃英語として読みやすいのですが，
＃解がないんです(^^;;

お礼

今晩は。再度のご回答有難うございます。

TeXが何かすら知らず全く恥ずかしい限りですが、_Cの表記法や小なりイコール、大なりイコール、積分記号の表記法は勉強になりました。

時代に取り残されないように電気の勉強をしなければと思い立って始めた数学や物理の勉強がいつのまにか仕事の枠を越えて面白くなり今日に至っていますが、No3様のお礼にも書かせていただいたように独学の弊害に陥らないようにこれからも皆様のお力だけが頼りです。今後も宜しくお願いします。

「複素解析」の良い参考書を探しておりました。地方の田舎住まいですので県庁所在地でないと大きな書店がありません。早速行って探してこようと思います。
本当に有難うございました。

回答No.3

ojisan7

積分範囲ですが、複素数ですから不等号は使えないことを覚えておいてください。
No1にも書きましたが、積分範囲は図を描けば理解しやすいですね。
（２）は、分母分子にzを掛けなくても、Cの内部に極は存在しませんから、正則です。（図を見れば明らか）

複素関数論は勉強してみると、面白い分野だと思います。がんばってください。

お礼

今晩は。　再度のご回答有難うございます。

独学の弊害として教科書を一面的に解釈してしまうことがたびたびです。皆様の多方面からの解説は非常に勉強になります。断片的な知識を統合する方法を教わったような気がしています。

皆様のアドバイスを心の拠り所として老骨に鞭打って頑張りますので、これからも宜しくお願いします。有難うございました。

回答No.2

kabaokaba

積分路が間違っています
>半径1の正方向の円に沿って積分
というのは
(1)ならC={ z｜-2/3≦ｚ≦4/3 }
ということではありません
C=\{ z | z=(1/3)+e^{it}, 0\le t\le 2\pi}
です．
けど曲線Cって書かれてるので
Cの記述の仕方がわからないだけでしょうか
記述の仕方がわからないなら
それはそれでまずいんですが。。。

まずは複素積分の基本的なところを見直しましょう

それと何を既知としてよいか分かりません
とりあえず，
コーシーの積分定理，
コーシーの積分公式
くらいは既知としておきます

(2)は極めて簡単
(2z+1)/(z^2-1)は積分路の内部で正則なので
コーシーの積分定理より0

(1)はf(z)=(2z+1)/(z+1)とおくと
f(z)は積分路の内部で正則であり
求める定積分をIとおけば
I=\int_C f(z)/(z-1)dz
Cはz=1をその内部に含むので
コーシーの積分定理より
I=2\pi i f(1)=2\pi i (3/2)=3\pi

答えそのものはあってると思いますが
経過説明が意味をなしてないので，
大学の試験だったら点はないですよ．

それとこの問題，計算はしんどくなりますが
コーシーの積分定理とか積分公式なんて
使わないでできるはずです
線積分の定義にもどって計算してみましょう

お礼

お早うございます。ご回答有難うございました。

ご指摘のように、積分路Cの記述の方法がよく分からずおかしな書き方をしてしまいました。

C=\{z｜z=(1/3)+e^(it),0\le t\le 2\pi}の\の意味が分からない事と、{}内の最後は0≦θ≦2π　とは別の事でしょうか？
それと　I=\int_ の\int_　の意味を教えて頂けませんか。∫のことでしょうか？

(2)は極めて簡単…コーシーの定理より0　の所ですが、コーシーの積分定理の使い方がよく理解できました。

現在複素積分の所を独学中なのですが、ご指摘のように線積分の最初に戻っての方法も考えてみようと思います。

回答No.1

ojisan7

なにも、教えることはありません。
（１）、（２）ともに、質問者の解答で正解だと思います。もっと、自信を持っても良いと思います。

（１）は部分分数に分解して留数定理を使えば簡単ですね。（２）は質問者のいうとうり、Cの内部で正則ですから、コーシーの積分公式が使えるわけです。（図をかけば、明らかですね。）

お礼

お早うございます。ご回答有難うございました。
独学で数学を勉強中の者です。

(1)については、現在やっているもう少し後に留数定理がでてきますので、その時再度ご指摘の方法でやってみようと思います。

(2)については(1)のような形にiを使って分母を分解できればと考えたのですが上手くできず、強引に分母分子にzを掛け(1)と同じ形にしたのですが、そのような方法で良いのでしょうか？