複素関数の積分

質問

周回積分∫dz/(zsinz) (|z|=1)の積分はz=0で２位の極を持ちます。よって後は留数定理にしたがって計算するだけなのですが、答えが合いません。答えは０ですが、どうしても留数が１になって積分値が2πiになってしまいます。
お手数ですが、どなたか計算過程を教えてもらえないでしょうか。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

No.2です。

ANo.2の補足の質問です。

>これを微分して後はロピタルを使って地道に計算していったのですが、これは間違っているのですか？

計算すればゼロになります。計算が間違ったのでしょう！

>０になるというのは上の*式の順番を入れ替えて
d/dz[lim{z/sinz}] [z→0]
limと微分の順番は入れ替える計算は間違いです！

>上の極限は三角関数の極限値で１になるので、その微分は０となり、したがって留数も０になるという事でしょうか。
そうですがスッキリしないので、（*）の式をちゃんと地道に計算しましょう！

Resf(0)=lim[d/dz{(z-0)^2(1/zsinz)}] [z→0]
=lim{d/dz(z/sinz)} [z→0]　
=lim {(sinz-zcosz)/sin^2(z)} [z→0]　
0/0型なのでロピタル適用
=lim {(cosz-cosz+zsinz)/(2sinz*cosz)} [z→0]
=lim {z/(2cosz)} [z→0]
=0/2=0
と留数はゼロとなります。

ANo.2に書いたローラン展開の結果の1/zの係数がゼロなので、留数=0と一致します。

お分かりになりました？

お礼

おかげ様で留数がゼロと求まりました。
lim {(cosz-cosz+zsinz)/(2sinz*cosz)} [z→0]
の分子が2cosz+zsinzと計算ミスしていたために上手くいかなかったみたいです。こんなつまらない事にお時間を取らせてしまってすいませんでした。

info22_ さん、Tacosanさん、回答有難うございました。

回答No.4

Tacosan

おっととと.

lim{d/dz(z/sinz)} [z→0]
はきちんと計算すると 0 になるはず.

回答No.3

Tacosan

1/(z sin z) が偶関数であることに気付けばほぼ何も考えずに「留数は 0」っていえるはずなんだが....

ところで, 微分係数の計算と極限は交換できるんですか?

回答No.2

info22_

>周回積分∫dz/(zsinz) (|z|=1)の積分はz=0で２位の極を持ちます。よって後は留数定理にしたがって計算するだけなのですが、

|z|≦1内の極はz=0のみで2位の極です。したがってz=0における留数は0で積分の答えは0です。

なぜ、「どうしても留数が１になって」と言えるのですか？

1/(zsin(z))のz=0の周りのローラン展開は

　1/(zsin(z))=1/z^2 +1/6 +(7/360)z^2 + …

であり、1/zの項は無いので　留数は0です。
積分路内に0でない留数は存在しないので、留数定理から複素積分はゼロになります。

補足

z=0で２位の極だから留数定理より
Resf(0)=lim[d/dz{(z-0)^2(1/zsinz)}] [z→0]
=lim{d/dz(z/sinz)} [z→0]　*
これを微分して後はロピタルを使って地道に計算していったのですが、これは間違っているのですか？
０になるというのは上の*式の順番を入れ替えて
d/dz[lim{z/sinz}] [z→0]
上の極限は三角関数の極限値で１になるので、その微分は０となり、したがって留数も０になるという事でしょうか。

回答No.1

Tacosan

どう計算して留数が 1 になったんでしょうか?