複素平面上の積分

質問

径路Cをz=εe^(iθ)　[θ:π→0]
とした時、径路積分
I=∫[C](1/z)dz
は、以下の定理
αを含む閉曲線Kに対し
∫[K]((z-α)^n)dz
は、
n=-1のとき2πi
n≠-1のとき0
となる、という定理より、
I=-πi
と、この本には載っているのですが、この径路Cは閉曲線でないためこの定理は使えないと思うのですが、何故このような解答になるのでしょうか？

回答No.4

rnakamra · ベストアンサー

#1のものです。
>経路C'はz=εe^(iθ)[θ:0→-π]
>なので、z=-z'で置き換えると、経路C'は
>z'=-εe^(iθ)　[θ:0→-π]
>となり、
>経路C: z=εe^(iθ)　[θ:π→0]
>と一致しないように思うのですが、どのようにすれば一致するのでしょうか？

z'=-εe^(iθ)=(-1)εe^(iθ)=e^(πi)*ε*e^(iθ)=εe^(i(θ+π)) [θ:0→-π]
θ'=θ+πと置き換えると
z'=εe^(iθ') [θ':π→0]
となりCに一致します。

直感的には、-1倍するということは複素平面上でπ(つまり半回転)まわすことですからzの経路C'(0を中心にz=εから時計回りに半回転して-εまで)をz'=-zで半回転するとC(0を中心に-εから時計回りに半回転してεまで)に変わることがイメージできると思います。

お礼

なるほど、どうも有り難うございました。

回答No.3

rnakamra

#1のものです。
一箇所間違い。
(誤)∫[C](1/z)dz+∫[C'](1/z)dz=-2πi(向きが反時計回りですのでマイナスがつく)
↓
(正)∫[C](1/z)dz+∫[C'](1/z)dz=-2πi(向きが時計回りですのでマイナスがつく)

時計回りと反時計回りを間違えるとは．．．

回答No.2

arrysthmia

経路 C を φ = π - θ で変数変換したものと
φ = 2π - θ で変数変換したものを繋げると、
反時計回りの円周になるからです。

定理を使った後、少し、式の整理が必要です。

お礼

経路C'をz=εe^(iθ)[θ:0→-π]と取ると、
∫[C](1/z)dz+∫[C'](1/z)dz=-2πi
なので、
∫[C](1/z)dz=∫[C'](1/z)dz
となることを示したいから、θを変数変換するという解釈で良いんですよね？
そうだとするなら、
θ'=θ+π
としても、
経路C'はz=εe^(i(θ'-π))[θ:π→0]となってしまい、経路Cに一致するように変換できないのですが、どのようにすればいいのでしょうか？

回答No.1

rnakamra

閉じた経路になるように経路C'をz=εe^(iθ)[θ:0→-π]ととりますと、

∫[C](1/z)dz+∫[C'](1/z)dz=-2πi(向きが反時計回りですのでマイナスがつく)

ここで右側の積分でz=-z'と変数変換すると
∫[C'](1/z)dz=∫[C](-1/z')(-dz')=∫[C](1/z')dz'
となり、左側の積分と同じ式になります。よってこの値もI。
(経路が-1倍されることでC'→Cになることに注意)
I+I=-2πi
I=-πi
となります。

お礼

＞ここで右側の積分でz=-z'と変数変換すると
＞∫[C'](1/z)dz=∫[C](-1/z')(-dz')
z=-z'と変数変換するとC'がCとなっていますが、
経路C'はz=εe^(iθ)[θ:0→-π]
なので、z=-z'で置き換えると、経路C'は
z'=-εe^(iθ)　[θ:0→-π]
となり、
経路C: z=εe^(iθ)　[θ:π→0]
と一致しないように思うのですが、どのようにすれば一致するのでしょうか？