複素線積分についての質問です。

質問

複素線積分についての質問ですが、∮ｚ二乗の ｄｚ、C；ｚ＝（1＋i）t、tの範囲が0 から1で求めると値はどうなるでしょうか？答えと過程を教えてください。

回答No.1

info22_

z^2は正則関数なので積分経路に沿ってそのまま積分すればいいでしょう。
積分の記号は周回積分（閉路積分）ではないので○付きでない積分記号「∫」を使った方がいいかと思います。

z=(1+i)t, dz=(1+i)dt,z^2=(1+i)^2*t^2 より
∫_C z^2dz=∫[0→1] (1+i)^3 t^2 dt=(1+i)^3∫[0→1] t^2 dt
=(1+i)^3 [t^3/3][0→1]=(1/3)(1+i)^3
=2(i-1)/3