数列の問題なのですが

質問

(1 - 1/2)(1 - 1/3)・・・(1 - 1/n)の和を求める問題なのですが、指針に
1/2*2/3・・・n-1/n=1/n　となることとと、

Sn＝1/1*2 + 1/2*3 +・・・1/n*(n+1)
＝・・・・・・・・・・(1/n - 1/n+1)
＝1 - 1/n+1
となる指針の、２段目から３段目への経緯が理解できません(*_*)
なんでこぉなるんでしょうか？

回答No.5

daito · ベストアンサー

No.2です。

1/2＊2/3＊…*n-2/n-1＊n-1/n　は1/2から(n-1)/nまでの間の隣り合った分母と分子で打ち消すんですよ？

下のはミスしました。項が一つ抜けています。　＝(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…+｛(1/n-1)-(1/n)｝+　{(1/n)-(1/n+1)｝　ではなく　＝(1/1-1/2)＋(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…+｛(1/n-1)-(1/n)｝+｛(1/n)-(1/n+1)｝＝1-(1/n+1)　ですね

回答No.4

wolv

ところで、
　(1 - 1/2)(1 - 1/3)・・・(1 - 1/n)の和
って何のことですか？

数列a1,a2,...の各項anが、
　an=(1 - 1/2)(1 - 1/3)・・・(1 - 1/n)
であるときの第ｎ項までの和
　Sn = a1 + a2 + ... + an
を求めよ、

ということ？

回答No.3

wolv

emily-strangeさん、単純な計算ミスしただけだとは思います。２行目をきちんと書くと

Sn = 1/(1*2) + 1/(2*3) + .. + 1/(n*(n+1))
= (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + .. + (1/n - 1/(n+1))
= 1 + 1/(n+1)

となります。

ちなみに、分数を
　1
　-
　2
と書かずに
　1/2
のように書く時は、分子も分母も括弧をつけないと、式の意味がおかしくなります。括弧をつけましょう。

回答No.2

daito

(1-1/n)＝（n/n-1/n)＝(n-1/n)　となりますよね？これを使って与式を変形すると　1/2＊2/3＊…n-2/n-1＊n-1/n　となり左隣の分母と右隣の分子がお互いに消しあうので、左端の分子と右端の分母が残って　1/n　です。

二段目は　＝(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…+｛(1/n-1)-(1/n)｝+｛(1/n)-(1/n+1)｝　となるので両端を抜かして隣の分数と打ち消しあいます。なので打ち消しあわない両端の数を持ってくると三段目の式になるのです。これは有名な変形なので覚えると後々役立ちますよ

補足

すいません、いまひとつわかりません(*_*)

打ち消しあってn-2/nとなると思うのですが、そこから1/nにどぉやってなるのかが分かりません(*_*)

下の方も、両端が打ち消しあわないことはわかったのですが、そこから三段目の式にもっていけれません(*_*)
すいません…どぉなっているのでしょうか？

回答No.1

HOGERA3

1/{n(n+1)} = {1/n - 1/(n+1)}
にどうしてなるのかが分からないということでしょうか？
右辺を通分してみればすぐ理解できると思います。