数列の問題です。

質問

次の数列の初項から第n項までの和Snを求めよ。
1・3、2・9、3・27、4・81、・・・・・
【答え】　1/4(2n-1)・3^[n+1]+3/4

一般項は、n・3^n　ですよね？そのあとのΣにするのが分かりません。よろしくお願いします。

回答No.2

yhposolihp · ベストアンサー

S=1・3+2・9+3・27+・・・+(n-1)・3^(n-1)+n・3^n
3S=,,,,,,,.1・9+2・27+3・81+・・・・・・・+(n-1)・3^n+n・3^(n+1)

上式から下式を引いて、
-2S=1・3+{ 9 + 27 + 81+・・・・・・・・・・・+3^n}-n・3^(n+1)

形を整えて、
-2S=[3^1+3^2+3^2+・・・+3^n]-n・3^(n+1)
-2S=3[3^0+3^1+3^1+・・・+3^(n-1)]-n・3^(n+1)

等比数列の和の公式をつかって、
-2S=3[{(3^n)-1}/2]-n・3^(n+1)
,,,,,,,=(3/2){(3^n)-1}-(2/2)・n・3^(n+1)

(次数を同じにし)(展開し)(項を入れ替え)式を整理して、
,,,,,,,=(1/2){3^(n+1)-3}-(2/2)・n・3^(n+1)
,,,,,,,=(1/2)[3^(n+1)-2n・3^(n+1)-3]
,,,,,,,=(1/2)[(1-2n)・3^(n+1)-3]

符号に注意して両辺を－２で割って、
Ｓ=(1/4)[(2n-1)・3^(n+1)+3]
,,,,=(1/4)[(2n-1)・3^(n+1)]+(3/4)

確認のため、n=1をいれて、
S(1)=(9/4)+(3/4)=(12/4)=3 大丈夫。

回答No.3

noname#75273

Σ 等差数列×等比数列　の計算は、
公式風に書くと、
S = 1 + 2 r + 3 r^2 + ・・・ + n r^(n - 1)
を求めるには、 「S - r S」 と計算するのが一般的です。

なお、この問題は、計算量が多い、かつ計算ミスをしやすいので、
慎重かつ、正確に計算することが大事です。

回答No.1

himajin100000

S = 1*3^1 + 2*3^2 + 3*3^3 + … n * 3^n
3*S = 1*3^2 + 2*3^3 + 3*3^4 + … (n-1) * 3^n + n*3^(n+1)

S - 3S = -2 * S = (1*3^1 + 1*3^2 + 1*3^3 + 1*3^n) - n * 3^(n+1)

等比数列の和の公式より
-2 * S
= 3 * (1 - 3^n)/(1 - 3) - n * 3^(n+1)
= 3 * (1 - 3^n)/(-2) - n * 3^(n+1)

後は整理するだけ

S
= 3* (1 - 3^n) / 4 + n * 3^(n+1) / 2
= - 3^(n+1)(1/4 - n/2) + 3/4
= - 3^(n+1)(1/4 - n/2) + 3/4
= 1/4 * (2n - 1) * 3^(n+1) + 3/4