数列の証明問題です

質問

等差数列Ａn＝a+d(n-1)について、第n項までの和をＳn、m項までの和をＳmとすると、m≠nのときＳm＝ＳnならばＳm+n＝0を証明せよ。という問題です。

次の証明は証明になっていますか？
Ｓn＝n{2a+d(n-1)}/2、Ｓm＝m{2a+d(m-1)}/2と、Ｓm+n＝(m+n){2a+d(m+n-1)}/2とおける
Ｓm＝Ｓnより2am^2+dm^2-dm=2an+dn^2-dn
dm^2+(2a-d)m-dn^2-(2a-d)n=0
m≠n、a、dは実数だからa=d=0
このとき
Ｓm+n＝(m+n){2・0+0・(m+n-1)}/2
＝0

なにかがおかしい気がするんですが、どうでしょうか
ちなみに模範解答は
Ｓm-Ｓnを変形してＳm-Ｓn＝Ｓm+n＝0を導いています…

回答No.2

Meowth

Ｓm＝Ｓnより2am^2+dm^2-dm=2an+dn^2-dn
2am^2→2am
間違いのままの式は変形して、
確かに
dm^2+(2a-d)m-dn^2-(2a-d)n=0
だが、
ここから
m≠n、a、dは実数だからa=d=0
はいえない。

修正した式からは、
2am+dm^2-dm=2an+dn^2-dn
は因数分解して、
(m-n) {d(m+n-1) + 2 a}=0
d=0 のとき　a=0　Sn=Sm=Sm+n=0　
これも一応解（自明解）
d≠0のとき、
m+n-1＝1+2 a/d
.....

お礼

ありがとうございます

回答No.1

noname#47894

> dm^2+(2a-d)m-dn^2-(2a-d)n=0
> m≠n、a、dは実数だからa=d=0

この式から、a=d=0　までいうのは無理です。

dm^2+(2a-d)m-dn^2-(2a-d)n=0　より、因数分解して、
(m-n)｛d(m+n)＋2a-d｝=0
m≠n　より、d(m+n)＋2a-d=0
よって、2a＝-d(m+n-1)

あとは分かりますね？
これを、Ｓm+n　に代入してください。

お礼

ありがとうございます。

できればどうしてそう言えないのかもお願いしたかったです…