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数列

一般項が、n×2^n-1 である数列の初項から第n項までの和Snを求めよ Sn-2Snを使うようなのですが、よくわかりません。 この解法を教えてください。

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  • info22_
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回答No.1

下付き添字nを[n]のように[ ]を付けて表します。 a[n] = n 2^(n-1) S[n] = 1+2*2+3*2^2+4*2^3+ ... + n*2^(n-1) 2S[n]= 1*2+2*2^2+3*2^3+ ... +(n-1)*2^(n-1) + n*2^n S[n]-2S[n]=-S[n] =1+2+2^2+2^3+ ... +2^(n-1) -n*2^n =((2^n)-1)/(2-1) -n*2^n =-1-(n-1)*2^n ∴S[n]=1+(n-1)*2^n

nananozomi
質問者

お礼

丁寧にありがとうございます。

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  • 178-tall
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回答No.2

>一般項が、n×2^n-1 である数列の初項から第n項までの和Snを求めよ >Sn-2Snを使うようなのですが、よくわかりません。 確かに、"Sn-2Sn" は利器。 …ならば、第 n 項が 2^(n-1) である数列の和のみに頼るパターンは?  n = 4 の例でも。     A       B  ---------   -------  1 2 4 8      1 2 4 8    1  1 2 4 8    1 2  1 2 4 8    1 2 4  パターン A の集計値から B の集計値を引き算する手です。 以下、Rn = (2^n) - 1 を利用。 パターン A の集計値 = 4*R4 = 4*{(2^4) - 1} = 60 パターン B の集計値 = R1 + R2 + R3           = (2^1) + (2^2) + (2^3) - 3           = {(2^4) - 1} -1 - 3           = (2^4) - 5 = 11 集計値引き算 = 60 - 11 = 49 これを一般化していくと、  Sn = (n-1)*(2^n) + 1 に成るのかな? お試しを。    

nananozomi
質問者

お礼

新しいやり方もためしてみたいと思います。 ありがとうございます

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