数列【和で与えられた数列】

質問

以下の問題の解き方が分かりません。

初項から第n項までの和Ｓnが
Ｓn＝２ｎ＾２－ｎ（＾２は２乗）
で与えられる数列の一般ａｎを求めよ。

解説には、
ｎ≧２のとき
ａｎ＝２ｎ＾２－ｎ－｛２（ｎ－１）＾２－（ｎ－１）｝
　　＝４ｎ－３
ａ１＝Ｓ１＝１
答え：４ｎ－３

とあるのですが、どうやったらこの式が導き出されるのか皆目分かりません。
ご回答を宜しくお願い致します。

回答No.4

sunasearch · ベストアンサー

＃２です。まちがえました。

＞Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

お礼

ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１の式の意味がイマイチ分からず解けなかったのですが、ご回答のおかげでよく分かりました。
分かりやすいご解説、ありがとうございました。

回答No.6

noname#14584

()は添え字とすると，

S(n)-S(n-1)=a(n)
となります．S(n)はa(1)からa(n)までの和，S(n-1)はa(1)からa(n-1)までの和ですから，差がa(n)です．
ですから，n≧2なる自然数nに対して，
a(n)=S(n)-S(n-1)=(2(n^2)-n)-(2(n-1)^2-(n-1))
となり,a(n)=4n-3
a(1)=S(1)=1より，自然数nに対して，
a(n)=4n-3・・・（答）

お礼

＞S(n)はa(1)からa(n)までの和，S(n-1)はa(1)からa(n-1)までの和ですから，差がa(n)です．

というご説明が、とても分かりやすかったです。
ご回答ありがとうございました。

回答No.5

Nickee

ａｎ＝２ｎ＾２－ｎ－｛２（ｎ－１）＾２－（ｎ－１）｝

は
[a]n = 総和　- [a]n-1
からきてると思います。だから、1の時は、[a]0になるので、初項前になってしまうので、適応できない。
(*[a]n・・・aのn番目の項)

参考まで

お礼

＞1の時は、[a]0になるので、初項前になってしまうので、適応できない

という点もイマイチイ理解できていませんでしたが、ご回答のおかげで良く分かりました。
ありがとうございました。

回答No.3

eatern27

＞ｎ≧２のとき
＞ａｎ＝２ｎ＾２－ｎ－｛２（ｎ－１）＾２－（ｎ－１）｝
＞　　＝４ｎ－３

の部分は、n≧2でa[n]=S[n]-S[n-1]である事から。

＞ａ１＝Ｓ１＝１
の部分はa[1]=S[1]である事から。

お礼

簡潔で分かりやすいご回答、ありがとうございました。

回答No.2

sunasearch

S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
S4 = a1 + a2 + a3 + a4
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1

ですから、

a1 = S1
a2 = S2 - S1
a3 = S3 - S2
a4 = S4 - S3
...
an = Sn - Sn-1

で求められますので、

Sn = ２ｎ＾２－ｎ
Sn-1 = ２（ｎ－１）＾２－（ｎ－１）

から、求めることができます。

回答No.1

omoidasu

Ｓｎ＝Ｓｎ-1 + an　ですよね。

お礼

要は公式から考えれば良いのですね。
ご回答ありがとうございました。