大学の微積分の問題です

質問

こんばんは。
また知恵を貸していただきたく質問します。
∮∮xdxdyを1≦x^2+y^2≦4とx≧0で表した場合、どうなりますか？
範囲は右半分の五円玉？みたいなかんじで1≦r≦2と-π/2≦θ≦π/2になると思うのですが…
五円玉の空洞部分？をどう処理していいか分かりません。
これはヤコビアンを使って計算していけばいいのでしょうか…。

あと、これは微分の条件付き極値の問題なのですが、
x^2+xy+2y^2=1のときf（x、y）＝x^2+y^2の極地を教えてください。
これはFx=Fy=Fλ＝０までは理解できるのですが、その後の連立の仕方がよくわかりません。
ラムダを消せば良いのか、xなのか、yなのか…。

元々文系ですので、できれば細かく説明していただけると有難いです。
高校数学の微分・積分ならできます。
よろしくおねがいします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

続いて
後半]

ラグランジュの未定乗数法の問題です。
x^2+xy+2y^2=1 ...(1)　→ g(x,y)=x^2+xy+2y^2-1 ...(2)
f(x,y)=x^2+y^2 ...(3)
F(x,y)=f(x,y)-λg(x,y)=(x^2+y^2)-λ(x^2+xy+2y^2-1) ...(4)
>これはFx=Fy=Fλ＝0
Fx=2x-λ(2x+y)=0 ...(5)
Fy=2y-λ(x+4y)=0 ...(6)
Fλ=x^2+xy+2y^2-1=0 ⇔　x^2+xy+2y^2=1 ...(1)
(1)をyの２次方程式とみなしてyの実数条件から判別式D≧0より
　x^2-8(x^2-1)=8-7x^2≧0 ∴|x|≦2√14/7
(1)をxの２次方程式と見なしてxの実数条件から判別式D≧0より
　y^2-4(2y^2-1)=4-7y^2≧0 |y|≦2√7/7
従って f(x,y)の極大値（最大値）が存在する。
また、
x^2+xy+2y^2=1は(x,y)=(0,0)を満たさないのでf(x,y)の極小値(最小値)>0が存在する。

(5),(6),(1)を連立させて解くと(λ,x,y)の組が4通り求まる。

λ=(6-2√2)/7の時
(x,y)=(±√(14(8-5√2))/14,±(√14+2√7)√(8+5√2)/14)　(複号同順)
極値f(±√(14(8-5√2))/14,±(√14+2√7)√(8+5√2)/14)=(6-2√2)/7　(複号同順)

λ=(6+2√2)/7の時
(x,y)=(±√(14(8+5√2))/14,±(√14-2√7)√(8+5√2)/14)　(複号同順)
極値f(±√(14(8+5√2))/14,±(√14-2√7)√(8+5√2)/14)=(6+2√2)/7　(複号同順)
x^2+xy+2y^2=1はなめらかな曲線（実は原点中心の楕円）なので
4個の極値の内、最大の2個がf(x,y)の極大値（最大値）で、
最小の2個がf(x,y)の極小値（最小値）となります。

まとめると
(x,y)=(±√(14(8-5√2))/14,±(√14+2√7)√(8+5√2)/14)　(複号同順)のとき
　f(x,y)は極小値(6-2√2)/7　をとる。この極小値は最小値でもある。
(x,y)=(±√(14(8+5√2))/14,±(√14-2√7)√(8+5√2)/14)　(複号同順)のとき
　f(x,y)は極大値(6+2√2)/7　をとる。この極大値は最大値でもある。

お礼

素早い回答、ありがとうございます！
とてもよくわかりました。

回答No.4

Water_5

dxdy=|J|drdθ=rdrdθ

故に
drdθ/dxdy＝1/ｒなので、
ｒ≧１　のとき体積要素は収縮する。
ｒ< 1 のとき体積要素は膨張する。

で、よかったかな？

回答No.3

ereserve67

変数変換をせずにやりましょう。

Dは

|y|≦1のとき√(1-y^2)≦x≦√(4-y^2)
1≦|y|≦2のとき0≦x≦√(4-y^2)

となります。したがって

∬_Ddxdyx

=∫_{|y|≦1}dy∫_{√(1-y^2)}^{√(4-y^2)}dxx
+∫_{1≦|y|≦2}dy∫_0^{√(4-y^2)}dxx

=∫_{|y|≦1}dy[x^2/2]_{√(4-y^2)}^{√(1-y^2)}
+∫_{1≦|y|≦2}dy[x^2/2]_0^{√(4-y^2)}

=2∫_0^1dy{(4-y^2)-(1-y^2)}/2
+2∫_1^2dy(4-y^2)/2

=∫_0^1dy3+∫_1^2dy(4-y^2)

=3+[4y-y^3/3]_1^2

=3+4-(8-1)/3=14/3（答）

Lagrangeの未定乗数法ではなく変数変換によって直接解きましょう。

まず条件

(x^2+y^2)+xy+y^2=1

を極座標

x=rcosθ,y=rsinθ

で表示します。

r^2+r^2cosθsinθ+r^2sin^2θ=1

r^2+r^2sin2θ/2+r^2(1-cos2θ)/2=1

r^2{3/2+(sin2θ-cos2θ)/2}=1

r^2=2/(3+sin2θ-cos2θ)=2/{3+√2sin(2θ-π/4)}

f(x,y)=x^2+y^2=r^2なので

f(x,y)=2/{3+√2sin(2θ-π/4)}

2θ-π/4=-π/2+2nπ(nは整数)すなわち

θ=-π/8+nπ

のとき極大値かつ最大値2/(3-√2)=2(3+√2)/7をとります。このとき

x=(-1)^n√{2(3+√2)/7}cos(π/8)
y=-(-1)^n√{2(3+√2)/7}sin(π/8)

2θ-π/4=π/2+2nπ(nは整数)すなわち

θ=3π/8+nπ=π/2-π/8+nπ

のとき極小値かつ最小値2/(3+√2)=2(3-√2)/7をとります。このとき

x=(-1)^n√{2(3-√2)/7}sin(π/8)
y=(-1)^n√{2(3-√2)/7}cos(π/8)

ここで

sin(π/8)=√{(1-cos(π/4))/2}=√(2-√2)/2

cos(π/8)=√{(1+cos(π/4))/2}=√(2-√2)/2

です．

お礼

Lagrangeの未定乗数法を使わなくてもできるのですね！
それは知りませんでした…それも使いこなせるようになりたいです。
ありがとうございました！

回答No.1

info22_

取り敢えず
前半]

I=∫∫_D xdxdy, D={(x,y)|1≦x^2+y^2≦4, x≧0}
x=rcosθ, y=rsinθで置換積分すると

>これはヤコビアンを使って計算していけばいいのでしょうか…。
そうです。
ヤコビアン|J|=r(cos^2θ+sin^2θ)=r
xdxdy=rcosθ|J|drdθ=r^2 cosθdrdθ
D⇒E={(r,θ)}1≦r≦2,-π/2≦θ≦π/2}
>五円玉の空洞部分？をどう処理していいか分かりません。
この処理は積分領域Eの「1≦r≦2」で処理ができます(rの積分範囲に反映)。

となるから

I=∫∫_E r^2 cosθdrdθ
=∫[-π/2→π/2]cosθdθ∫[1→2] r^2 dr
={[sinθ][-π/2→π/2]}*{[r^3/3][1→2]}
=2*(8-1)/3
=14/3