以前も質問しましたが解決できませんでした。微分の問題です。

質問

f(x,y)=(xy)(x^2-y^2)/x^2+y^2 (x,y)≠（0,0）
=0 (x,y)=(0,0)について
1.fが平面全体で連続であることを証明してください。
2.ｆx(x,y),fy(x,y) (x,y)≠(0,0)とfx(0,0),fy(0,0)を求めてください
3.fxy(0,0)とfyx(0,0)を求めてください
4.fが全微分可能である理由と、fがC２級である理由を教えてください

回答No.1

LightOKOK · ベストアンサー

（１）
x=rcosθ　y=rsinθ　(r>0)とおくと、
f(x,y)=r^2cosθsinθ(cos2θ)
|f(x,y)|≦r^2　なので、
(x,y)→(0,0) のとき、r→0　だから、f(x,y)→0

（２）
(x,y)≠(0,0)　のときのｆx(x,y),ｆy(x,y)　は自分で計算してください。

(x,y)=(0,0)のとき、
fx(0,0)
=lim[x→0]{(f(x,0)-f(0,0))/x}
=lim[x→0]{(0-0)/x}
=0

fy(0,0)
=lim[y→0]{(f(0,y)-f(0,0))/y}
=lim[y→0]{(0-0)/y}
=0

（３）
fx(0,y)=-y
fy((x,0)=x
だから、
fxy(0,0)
=lim[y→0]{(fx(0,y)-fx(0,0))/y}
=lim[y→0]{(-y-0)/y}
=-1

fyx(0,0)
=lim[x→0]{(fy(x,0)-fy(0,0))/x}
=lim[x→0]{(x-0)/x}
=1

（４）
やり方のみ
（１）と同じことを、fx(x,y)とfy(x,y)に行い,
(x,y)→(0,0) のとき、r→0　だから、fx(x,y)→0,　fy(x,y)→0
を示し、fx(x,y),　fy(x,y)　が(0,0)で連続になることをいう。

「fがC２級」の定義を満たすことを示す。

計算はミスがあるかもしれないので、自分で確認してください。

お礼

たすかりました！
ありがとうございます！！