積分値の問題で質問です。

質問

積分値の問題で質問です。
∬xdxdy D:0≦x－y≦1,　0≦x+y≦1
この問題を
x-y=u,x+y=v
と変換し、
x＝(u+v)/2 y=-(u-v)/2　
0≦u≦1,　0≦v≦1
J=|xu xv|=| 1/2 1/2|=1/2
|yu yv| |-1/2 1/2|

∬xdxdy=∬(u+v)/2・|J|dudv＝1/4∬(u+v)dudv
と問題集で説いているのですが

もし下のようにヤコビアンを計算したら
J=|xv xu|=|1/2 1/2|=-1/2
|yv yu| |1/2 -1/2|
となり
∬xdxdy=∬(u+v)/2・|J|dudv＝-1/4∬(u+v)dudv
と計算が変わり求まる答えも符号が変ってしまうのですが、
何が間違っているでしょうか？
ご指導お願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

ヤコビ行列 Jacobien matrix てのと
ヤコビ行列式 Jacobien determinant てのがあって、
ヤコビアン Jacobien と略すのは determinant のほうです。
(ヤコビアンは、ヤコビ行列の行列式です。)

ヤコビアン J はスカラーなので、式中の |J| は絶対値を表します。
行列 A の行列式を |A| とも書きますから、
J が何を指すか知っていないと、ややこしいですね。

回答No.6

alice_44

失礼、思い違いも甚だしい。

理系への数学　２００６年１０月号　定価９００円　第３９巻１０号通巻４７８号
多変数の微積分／重積分の変数変換一松信

でした。

回答No.5

alice_44

重積分の変数変換でヤコビアンの絶対値が掛かる
公式は、誰でも知っているけれども、
きちんと証明しようとすると、細部の詰めが
けっこう煩雑です。
教科書などでも、証明は省略して結果だけ
かいてあるものが多い。
確か、月刊誌「数学セミナー」の2009年春ごろ
(何月号だったか？)に、証明が載ってたと思います。
巻末近くの4～5ページの記事で。

回答No.4

info22_

#3です。

A#3の別解で積分の最終結果まで出しましたが、まだ問題集の解答まで書いて無かったですね。
一応積分すると|J|=1/2,D'={(u,v):0≦u≦1,0≦v≦1}として
∬xdxdy=(1/4)∬[D'](u+v)dudv=(1/4)∫[0,1] {∫[0,1](u+v)du}dv
=(1/4)∫[0,1] {[(u^2/2+vu)] [u=0,1]}dv
=(1/4)∫[0,1] (1/2+v)dv
=(1/4)[v/2+v^2/2] [v=0,1]
=(1/4)*1=1/4
となりますのでA#3のヤコビアンを使わない場合の積分結果と一致しますね。
おそらく問題集の解答の積分結果も「1/4」となっていませんか？

お礼

1/4です。細かく教えていただきありがとうございます。

回答No.3

info22_

>問題集で説いているのですが
J=1/2
>もし下のようにヤコビアンを計算したら
たとえ、J=-1/2　でも

積分では絶対値を使うので
|J|=1/2 (絶対値をとるので負にはならない)
を使うので他の方もいわれている通り問題無いでしょう。

参考までに、変数変換しないで逐次積分すれば
∬[D]xdxdy=∫[0,1/2] 2x(∫[0,x] dy)dx+∫[1/2,1] 2x{∫[0,1-x] dy}dx
=∫[0,1/2] 2x^2dx+∫[1/2,1] 2x(1-x)dx
=(2/3)(1/2)^3+2[x^2/2-x^3/3] [1/2,1]
=1/12+2(1/6-1/8+1/24)
=1/4
と問題集の結果と一致します。

回答No.1

OKXavier

>∬xdxdy=∬(u+v)/2・|J|dudv＝1/4∬(u+v)dudv
>と問題集で説いているのですが

|J|とJに絶対値記号が付いています。何か勘違いをしていませんか？

お礼

ありがとうございます。即答でしたのですごく助かりました。