2変数関数のテイラーの定理の問題について
どうにか2変数関数のテイラーの定理の問題まで解き進めることができました。
ここまでこれたのも、こちらでご指導くださった皆様のおかげと大変感謝しております。まだまだ勉強不足ですが、引き続きご鞭撻のほど、よろしくお願いしまします。
2変数関数のテイラーの定理の問題を解いてみたのですが、
これであっているのか、ご指導いただければと思います。
特に(5)が自信ないです。
【問題】
次の2変数関数に、n=2の場合の「マクローリンの定理」を適用せよ。
※2変数関数のマクローリンの定理
f(x,y)=f(0,0)
+(1/1!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)} f(0,0)
+(1/2!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(2) f(0,0)
+…
+(1/(n-1)!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n-1) f(0,0)
+(1/n!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n) f(θx,θy)
(0<θ<1)
※2変数関数のマクローリンの定理(n=2の場合)
f(x,y)=f(0,0)+{fx(0,0)+fy(0,0)y}
+(1/2){fxx(θx,θy)x^(2)+2fxy(θx,θy)xy+fyy(θx,θy)y^(2)}
(1) x+y
f(x,y)=x+y
f(0,0)=0
fx(x,y)=1
fx(0,0)=1
fy(x,y)=1
fy(0,0)=0
fxx(x,y)=0
fxx(0,0)=0
fxy(x,y)=0
fxy(0,0)=0
fyy(x,y)=0
fyy(0,0)=0
2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、
f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0x^2+2・0xy+0・y^2)=0
(2) x^2+y^2
f(x,y)=x^2+y^2
f(0,0)=0
fx(x,y)=2x
fx(0,0)=0
fy(x,y)=2y
fy(0,0)=0
fxx(x,y)=2
fxx(θx,θy)=2
fxy(x,y)=0
fxy(θx,θy)=0
fyy(x,y)=2
fyy(θx,θy)=2
2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、
f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・0xy+2y^2)
=(1/2)(2x^2+2y^2)
=x^2+y^2
(3) x^2+2xy+y^2
f(x,y)=x^2+2xy+y^2
f(0,0)=0
fx(x,y)=2x+2y
fx(0,0)=0
fy(x,y)=2x+2y
fy(0,0)=0
fxx(x,y)=2
fxx(θx,θy)=2
fxy(x,y)=2
fxy(θx,θy)=2
fyy(x,y)=2
fyy(θx,θy)=2
2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、
f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・2xy+2y^2)
=(1/2)(2x^2+4xy+2y^2)
=x^2+2xy+y^2
=(x+y)^2
(4) x^3+y^3
f(x,y)=x^3+y^3
f(0,0)=0
fx(x,y)=3x^2
fx(0,0)=0
fy(x,y)=3y^2
fy(0,0)=0
fxx(x,y)=6x
fxx(0,0)=0
fxy(x,y)=0
fxy(0,0)=0
fyy(x,y)=6y
fyy(0,0)=0
2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用する。
ただし、3次式のため、fxx(x,y),fxy(x,y),fyy(x,y)までの計算とする。
f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0・x^2+2・0xy+0・y^2)=0
(5) e^(x)・sin(y)
f(x,y)=e^(x)・sin(y)
f(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0
fx(x,y)=e^(x)・sin(y)
fx(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0
fy(x,y)=e^(x)・cos(y)
fy(0,0)=e^(0)・cos(0)=1・1=1
fxx(x,y)=e^(x)・sin(y)
fxx(θx,θy)=e^(θx)・sin(θy)
fxy(x,y)=e^(x)・cos(y)
fxy(θx,θy)=e^(θx)・cos(θy)
fyy(x,y)=e^(x)・(-sin(y))=-e^(x)・sin(y)
fyy(θx,θy)=-e^(θx)・sin(θy)
2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、
f(x,y)=0+(0x+1y)
+(1/2)(e^(θx)・sin(θy)・x^2+2・e^(θx)・cos(θy)・xy-e^(θx)・sin(θy)y^2)
=y+(1/2)e^(θx)(sin(θy)・x^2+2cos(θy)・xy-sin(θy)y^2)
=y+(1/2)θ・e^(θx)(sin(y)x^2+2cos(y)xy-sin(y)y^2)
=y+(1/2)θ・e^(θx)((x^2-y^2)sin(y)x^2+2cos(y)xy)
以上、よろしくお願いしたします。
補足
自分で解こうとして解き方がわからなかったのでこちらで質問をしております。