積分の極値の問題での疑問

質問

f(x)=∫x~2(t^3-t)dtの極値について。まず微分すると f'(x)=x(x+1)(x-1),積分するとf(x)=[(1/4)t^4-(1/2)t^2]=(1/4)x^4-(1/2)x^2-2となり極大値-2(x=0)極小値-9/4(x=+-1)となると思います。ここで疑問に思ったのがf(x)=x^3-xのグラフのx軸との交点は-1,0,1ですが例えば0から2までの積分だとx軸との囲まれた部分は0から1までですよね？ですがこの場合1から2の部分も積分してその値も加えた極値というとらえ方でよろしいのでしょうか？よかったら積分の極値の捉え方を間違っていたらいけないので積分の極値の定義についてもどなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

←No.2 補足
なるほど、そういうことか。

(1) 定積分と不定積分の関係を間違えている。
G(x) = ∫[不定積分]g(x)dx のとき
∫[aからbまで]g(x)dx = G(b) - G(a) だから、
(d/dx)∫[定数からxまで]g(x)dx = g(x) である。
質問の場合、
f’(x) = (d/dx)∫[xから2まで](tの3乗-t)dt
= (d/dx)｛ -∫[2からxまで](tの3乗-t)dt ｝
= -(xの3乗-x) となる。
(2) 積分定数を忘れている。
不定積分には積分定数の項が付き、その値は
∫[2からxまで] の積分区間の下端 2 できまる。
f(x) = -｛ (1/4)xの4乗 - (1/2)xの2乗 ｝+ C
の C を、f(2) = 0 となるように決めねばならない。

(3) 積分の図形的解釈の間違い。
積分は、グラフと x 軸が囲む面積ではなく、
グラフと x 軸と x=(積分区間の端) という直線が
囲む面積に、x 軸の上か下かによって適当な
符号を付けたものの和になる。
この辺は、言葉で聞いても解りにくいので、
教科書の絵を見て納得したほうがいい。
∫｜g(x)｜dx を計算する例題を参考に。

お礼

なるほど！それなら極値という説明もつきますね。このような問題の場合、必ず
f(x)=∫[xから2](tの三乗-t)dt=∫[2からx]-(tの三乗-t)dtとおいて考えなければならないのですね。大変分かりやすい回答ありがとうございました。

回答No.3

naniwacchi

#2です。

＞積分する値はx＾3－xで（＾3は3乗）積分区間はxから2までです。
f(x)=∫x~2(t^3-t)dt
の x~2は積分区間を表していたのですね。
「x^2（xの 2乗）」の間違いかと思っていました。＾＾；

こういうときは、特に決まりはありませんが、
f(x)＝ ∫[x→2] (t^3- t) dt

とでも書いておけば、なんとか見分けられると思います。

さて、本題ですが、積分の計算あっていますか？
微妙に違うような・・・
もしかして、積分区間は x→2ではなくて、2→xですか？
それでも、計算がまだ合わないようです。>_<

そもそも「質問」となっているところについては、先の回答で記していますが、
「囲まれた面積」ではなく、「積分というただの関数を計算している」と意識した方がいいと思います。
そこはある意味、機械的に計算をすると思った方がいいということです。

回答No.2

naniwacchi

おはようございます。

f(x)の式ですが、積分区間はどうなっているのでしょうか？
微分した式をさらに積分すれば、元の式に戻ってくるはずです。
が、整式の次数をみても、戻っているようには見受けられません。

＞例えば0から2までの積分だとx軸との囲まれた部分は0から1までですよね？
＞ですがこの場合1から2の部分も積分してその値も加えた極値というとらえ方でよろしいのでしょうか？
積分区間は、あくまでもその区間で積分しなさいということであって、
「x軸とで囲まれた部分」という意味ではないですが・・・

何か言葉足らずになっているような気がします。＾＾；

補足

説明が足りなくてすみません。積分する値はx＾3－xで（＾3は3乗）積分区間はxから2までです。

回答No.1

alice_44

何より、最初の式で、
右辺の x が式にどう入っているのか
が読み取れない。
掲示板の文字列で数式を表現するのは
難しいもので、もう少し説明が必要だろう。
いくつかの解釈を考えたが、どれも、
二行目の f' には、成りそうもない。
疑問点は、導関数の計算違いから生じている
可能性が高いように思うけれど、
そもそも f の内容が、その表記では解らない
から、添削のやりようが無い。