極値、最大最小問題

質問

f(x,y)=xy(x+y-1)について以下の問いに答えよ。

(1)x,yがx^2+y^2＜1を満たすとき、f(x,y)の極値を求めよ。

(2)x,yがx^2+y^2≦1を満たすとき、f(x,y)の最大値、最小値を求めよ。

この問題でf(x,y)=xy(x+y-1)を偏微分してfx(x,y)、fy(x,y)、fxx(x,y)、fyy(x,y)、fxy(x,y)を求めて、(1)の極値を求めるために(x,y)=(a,b)で極値を取ると仮定してfx(a,b)=fy(a,b)=0を解いて極値の候補出そうとしたんですが、よくわかりません。どうしたらいいですか？もし解ける人がいましたら、解答orアドバイスお願いします。

解けなくて困っているんで、解ける人いましたらお願いします。

回答No.4

mis_take · ベストアンサー

fx(x,y)=y(2x+y-1)
fy(x,y)=x(x+2y-1)
b(2a+b-1)=0 ... (1)
a(a+2b-1)=0 ... (2)
(1)より b=0 または b=-2a+1
(2)に代入すると
{b=0 かつ a(a-1)=0} または {b=-2a+1 かつ a(-3a+1)=0}
ゆえに
(a,b)=(0,0),(1,0),(0,1),(1/3,1/3)
x^2+y^2<1 の範囲だから
(a,b)=(0,0),(1/3,1/3)
あとはいいですね。

お礼

回答ありがとうございます。
(1)はおかげで編微分で解けました。

回答No.3

mister_moonlight

＞どうしてもm＾2-4n≧0の意味が良くわからないんです。これはどこから出てきたんですか？

x+y＝m、xy＝nとすると、xとyは t＾2-mt＋n＝0の2つの実数解です。
従って、判別式≧0です。

お礼

回答ありがとうございます。

判別式だったんですね。
わかりました。

回答No.2

mister_moonlight

＞円周上の最大・最小はx=cosθ、y=sinθとして変数を１変数にすれば

これは駄目です。円周上なら良いんですが、この不等式は円の周上と内部を表しているのですから。
どうしてもと言うなら、x＝r*cosθ、y＝r*sinθ　(0≦θ＜2π、0≦r≦1)としなければなりません。
従って、2変数の問題です。どちらを先に固定しても計算は面倒です。

方法は、x+y＝m、xy＝nとして、m＾2-4n≧0、m＾2-2n≦1の上で、mn平面上で　双曲線：k＝n(m-1)のとり得る値の範囲として求まると思います。
やってみて下さい。

お礼

回答ありがとうございます。

これを参考に解いてみたんですが、どうしてもm＾2-4n≧0の意味が良くわからないんです。これはどこから出てきたんですか？

回答No.1

zk43

偏微分でまともに計算したら訳がわかんなくなってしまった。

とりあえず、これはx,yどちらか固定すると、２次関数なので、
f(x,y)=y{x+(y-1)/2}^2-y(y-1)^2/4
f(x,y)=x{y+(x-1)/2}^2-x(x-1)^2/4
と変形すると、
yを止めて、x軸方向にみると、x=-(y-1)/2で極大か極小
xを止めて、y軸方向にみると、y=-(x-1)/2で極大か極小
（止めるx,yの正負によって極大・極小が変わる。）
であることがわかる。

x軸方向、y軸方向の極大、極小が一致するところを考えると、
x=-(y-1)/2とy=-(x-1)/2を同時に満たすx,yとして、x=y=1/3
1/3は正なので、ここで極小になる。
(1/3,1/3)はx^2+y^2＜1の中にある。

また、f(x,y)はx,yに関して対称なので、x=y上で極大・極小になると
考えられる。
そこで、x=y=tとしてみると、
f(t,t)=t^2(2t-1)=2t^3-t^2
(d/dt)f(t,t)=6t^2-2t=0より、t=0,1/3
x=yの１方向だけ見ているので、(0,0),(1/3,1/3)が極点の候補になる。
(0,0)はfxx=0,fyy=0でだめでしょう。変曲している、馬の鞍型のような
曲面。

正当なやり方ではないので、どうでしょうか？
エクセルで等高線グラフを描いて、どんな曲面になるか試してみては？

円周上の最大・最小はx=cosθ、y=sinθとして変数を１変数にすれば
できないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。

これは２変数をxの場合とyの場合でそれぞれ固定して考えるってことですよね？
数学苦手なんでちょっと初歩的なことかもしれないところがわからないんですが、x,yに関して対称ってどうしてすぐにわかるんですか？