分布関数に関する質問です。

質問

分布関数に関する問題で，解答に自信がないため質問させていただきます。

問：次の関数F(x)が分布関数となるためには，定数cはどのような値をとらなければならないか求めよ。

　　F(x)＝0(x＜1），clogx(1≦x＜2)，1(2≦x)

という問題です。

主に「分布関数となるために」という一文の意味が解釈できず，困っています。
1≦x＜2の範囲で常に0≦clogx＜1が満たされるようなcを求めればいいのでしょうか?
そうなると，
x=1のとき0≦clogx
x=2のときclogx≦1 を満たせばよいので，
0≦c＜(1/log2)
…と解けばよいのでしょうか?

お分かりになる方，お助け願います。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

F(x)が分布関数となるには、
（１）単調非減少
（２）有界
（３）右連続
を満たす必要があります。
（２）はF(-∞) = 0, F(∞) = 1なので有界、（３）は1 ≦ x < 2にあってはclogxが連続であり、その他の区間は定数なので満たしています。
残る（１）は、1 ≦ x < y < 2であるx, yについて、
0 ≦ clogx ≦ clogy ≦ 1
を満たすようにcを設定すれば良いので、貴方の解き方で問題ないのですが、

> 0≦c＜(1/log2)

は＜ではなく≦です。
c = 1/log2のときFは連続分布になります。

回答No.2

info22_

「分布関数となるために」という一文の意味が解釈できず，困っています。
F(-∞)=0　...(1)
F(∞)=1 ...(2)
0≦F(x)≦1 ...(3)
F(x)は単調増加関数 ...(4)
を満たせば良いです。

与関数
F(x)＝0(x＜1），clog(x)(1≦x＜2)，1(2≦x)
では条件(1)と(2)は既に満たされています。
条件(4)は
c≧0 ...(5)
であれば満たされます。
(5)のとき F(x)は単調増加関数となります。
残りの条件(3)は,(5)の下で
0≦clog(x)≦1 (1≦x＜2) ...(6)
を満たせば良いことになります。
つまり clog(x) (c≧0)が単調増加関数なので次の２つの条件を満たせば良いことになります。
x=1のとき clog(x)=0 で条件を満たしています。
x→2-0 の時 clog(x)→clog(2)≦1 ∴c≦1/log(2)　...(7)
まとめると

>0≦c＜(1/log2)
ではなく

0≦x≦1/log(2)
となります。　

特にF(x)が連続分布関数ということであれば(7)の等号が成立する必要があり

　 c=1/log(2)
となります。