Yの分布関数

質問

r.v.Xの分布関数F(x)が
F(x)=1　(2≦x)
　　=(1/4)x^2　(0≦x<2)
　　=0　(x<0)　　　　　であるとき
(1)P(1≦X≦3)の値を求めよ。
(2)Y=2X+1とするとき、Yの分布関数G(x)を求めよ。

この問題についてお聞きしたいです。
(1)は自分で解いてみたところ、表記が難しいので計算の過程は略しますが、答えが19/12となりました。
(2)はG(x)=P(Y≦x)=P(2X+1≦x)=P(X≦(x-1)/2)_(ⅰ)とした時点で行き詰ってしまいました。
Y=～となるとXの分布関数を求めるときとどのように解法の仕方を変えればよいのでしょうか。
(ⅰ)をどのように適用したらよいのかわからないのでどなたか教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

＞　(1)は自分で解いてみたところ、表記が難しいので計算の過程は略しますが、答えが19/12となりました。
ですが、P(1≦X≦3)＞１になるのはおかしいですね。
間違っているでしょう。
多分、F(x)を1≦x≦3で積分したのだと思いますが、分布関数とは何かをもう一度教科書で確認しましょう。
P(1≦X≦3)＝3/4 かな。
（（２）の話を拝見する限り、分かっていないわけではないような・・・）

（２）G(x)=P(Y≦x)=P(2X+1≦x)=P(X≦(x-1)/2)=F((x-1)/2)では？
わかりにくければ、
y=2x+1として、
2≦ｘ　→　5≦y
0≦ｘ＜2 →　1≦y＜5
ｘ＜0　→　y＜0
1≦y＜5のとき、
G(y)=P(Y≦y)=P(2X+1≦y)=P(X≦(y-1)/2)=F((y-1)/2)=(1/16)(y-1)^2

お礼

ご回答ありがとうございます。
>多分、F(x)を1≦x≦3で積分したのだと思いますが
その通りです。問題文の分布関数を見落とし、p.d.fとして計算していました。
ご指摘ありがとうございました。F(3)-F(1)=3/4となり納得です。
(2)に関しても理解することができました。過程まで詳しく書かれており、とてもわかりやすかったです。

回答No.5

info22

#4です。
(2)だけ
ミスです。
訂正します。
G(x)=P(Y≦x)=P(2X+1≦x)=P(X≦(x-1)/2)
F(x)=P(X≦x)から
G(x)=F((x-1)/2)
x＜1でG(x)=F((x-1)/2)=0
1≦x＜5でG(x)=F((x-1)/2)=(1/4){(x-1)/2}^2=(1/16)(x-1)^2
5≦xでG(x)=F((x+1)/2)=1

回答No.4

info22

下記質問で回答した者です。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3342822.html
(1)は上記質問でA#2の(1)で解答した方法と同じで、表記はぜんぜん難しくないと思いますが…。
(1)P(1≦X≦3)=F(3)-F(1)=1-{(1/4)*1^2}=1-(1/4)=3/4
です。
＞答えが19/12となりました。
この答えは間違いですね。
(2)
G(x)=P(Y≦x)=P(2X+1≦x)
F(x)=P(X≦x)から
G(x)=F(2x+1)
x＜(-1/2)でG(x)=F(2x+1)=0
-1/2≦x＜1/2でG(x)=F(2x+1)=(1/4)(2x+1)^2
1/2≦xでG(x)=F(2x+1)=1
となります。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3342822.html

お礼

ご回答ありがとうございます。
>(1)は上記質問でA#2の(1)で解答した方法と同じで、表記はぜんぜん難しくないと思いますが…。
全ては問題文の冒頭の分布関数F(x)についてということを見落とし、p.d.fとして計算してしまったことにあります。結果的に同じ内容の質問の書き込みとなってしまい、info22さんには二度手間をかけてしまい申し訳ありませんでした。

回答No.3

kumipapa

ごめん、ミス。
（２）
ｘ＜0　→　y＜1

回答No.1

guuman

h(x):=0 (x<0)
h(x):=1 (0<x)

として
G(y)=∫[-∞<x<∞]dx・h(y-(2・x+1))・F'(x)
となる
この超簡単な式を解いてG(y)を求め過程を補足に書け
ヒントは微分も積分もなく代入だけになる

お礼

ご回答ありがとうござます。しかし、私にはこの解き方は難しく理解できない部分もあったので、
#2さんの回答を参考とさせていただきました。