三次関数の問題です。

質問

一応自分でもやってみたのですが、途中でわからなくなりました。
次の問題です。

Θは０°＜＝Θ＝＞９０°を満たす定数角とする。三次関数
Ｆ（ｘ）＝ｘ＾３－（３cos＾２Θ）ｘ＾２＋（３ｃos２Θ）ｘ
が極値を持ち、極大値をＭとおくとき、次の各問いに答えよ。

（１）　Θのとり得る値の範囲を求め、ＭをΘで表せ。
（２）　（１）の範囲でΘを変化させるとき、Ｍのとり得る値の範囲を求めよ。

です。よろしくお願いします。

回答No.1

noname#598 · ベストアンサー

Ｆ’(x)=３ｘ^2－２（３cos＾２Θ）ｘ＋３ｃos２Θ
　　　＝３｛ｘ^2－２（cos＾２Θ）ｘ＋ｃos２Θ｝
cos^2Θ＝（１＋ｃos２Θ）/２より、
　　　＝３｛ｘ^2－（１＋cos２Θ）ｘ＋ｃos２Θ｝
　　　＝３（ｘ－１）（ｘ－ｃos２Θ）
Ｆ(ｘ)が極値を持つためには、
方程式Ｆ’(ｘ)＝０が異なる２つの実数解をもつ。
すなわち、ｃos２Θ≠１
よって、０°＜Θ≦90°
また、この条件では、ｃos２Θ＜１より、（増減表省略）
ｘ＝ｃos２Θのとき極大となる。
Ｍ＝(ｃos２Θ)^3－（３/２）＊（１＋ｃos２Θ）(ｃos２Θ)^2＋３(ｃos２Θ)^2
　＝（１/２）＊(ｃos２Θ)^2＊(３－ｃos２Θ)

（２）　ｃos２Θ＝ｔとすると、０°＜Θ≦90° より　－１≦ｔ＜１
Ｍ＝（１/２）＊(３ｔ^2－ｔ^3)
両辺をｔで微分すると、
Ｍ’＝（３ｔ／２）（２－ｔ）
ｔ＝－１のときＭ＝２
ｔ＝１のときＭ＝１（最大値なしの状態が避けられることの確認）
ｔ＝０のときＭ＝０
これと増減表（略）より、
０≦Ｍ≦２

お礼

早速のお答えありがとうございました。こんなにシンプルに解けるなんて思ってもいませんでした。ありがとうございました。