確立統計の問題についての困っています。

質問

確率変数Xの密度関数が
F(X)={　asin2x　(0≦x≦π/4), 0　(x<0,π/4<x)　}
で与えられるとき次の問いに答えよ。
(1)定数aの値を定め、定めたaを用いて分布関数F(x)を求めよ。
(2)定めたaを用いてXの期待値μと分散σ^2(σの二乗)を求めよ。

この問題がどうしてもわかりません。定数aは多分2であると思うのですが合っている自信はないです。どなたかわかる方は教えてください。宜しくお願いします。

回答No.2

noname#227064

> 分布関数自体あまり理解しておらず、教科書を読んでもどのようにして解いてよいのかわかりませんでした…。

分布関数とは、確率変数Xがx以下となる確率を与える関数のことです。
確率密度関数の場合、確率は面積となるので、
F(x) = ∫[-∞,x]f(y)dy　　　 [ ]は積分範囲
確率関数の場合、和で与えられるので、
F(x) = Σf(y)　　　 y≦xを満たす全ての和
となります。
ご質問の問題は確率密度分布の場合なので、
F(x) = ∫[-∞,x]f(y)dy
を使います。これに
f(X)={　asin2x　(0≦x≦π/4), 0　(x<0,π/4<x)　}
を代入して、積分しましょう。

> 期待値と分散も公式のようなものに当てはめたら良いのでしょうか…？？

確率密度分布の場合なので、
期待値：E(x) = ∫[-∞,∞]xf(x)dx
分散：V(x) = E[{x-E(x)}^2] = ∫[-∞,∞]{x-E(x)}^2f(x)dx
で求めます。
確率分布の場合は、∫をΣに変えたものです。

あとはご自分で解いてみて、それでわからないところがあれば補足してください。

回答No.1

noname#227064

密度関数と分布関数がどちらもF(X)になっていますね。
それはさておき、

(1)
> 定数aは多分2であると思うのですが合っている自信はないです。

a=2であっています。
aの値を定められたということは、分布関数は求めることができたのですよね？

(2)
定義通り積分するだけです。
部分積分を使えば、期待値と分散を求めることができますが、どこがわかりませんでしたか？

補足

回答ありがとうございます!!
分布関数自体あまり理解しておらず、教科書を読んでもどのようにして解いてよいのかわかりませんでした…。期待値と分散も公式のようなものに当てはめたら良いのでしょうか…？？
すみませんがもう少し詳しい説明をお願いします。ずうずうしくてすみません。
自分の理解力のなさが悲しいです。