積分の問題の解き方がわかりません。

質問

ｆ（ｔ）＝∫（０→π/2)｜cosx-tsinx|dxとおくとき、関数ｆ（ｔ）のｔ＞０における最小値を求めよ。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

t=tanθ(0<θ<π/2)となるθをとると

cosx-tsinx=cosx-sinθsinx/cosθ

=(cosθcosx-sinθsinx)/cosθ

=cos(θ+x)/cosθ

∴f(t)=(1/cosθ)∫（０→π/2)|cos(θ+x)|dx

=(1/cosθ){∫（０→π/2-θ)(cos(θ+x)dx+∫（π/2-θ→π/2){-cos(θ+x)}dx}

=(1/cosθ){[sin(θ+x)]（０→π/2-θ)+[-sin(θ+x)]（π/2-θ→π/2)}

=(1/cosθ){1-sinθ-cosθ+1}

=(1/cosθ){2-sinθ-cosθ}

=(2/cosθ)-tanθ-1

=2√(1+t^2)-t-1

f'(t)=(df/dθ)(dt/dθ)

=(2sinθ/cos^2θ-1/cos^2θ)/(1/cos^2θ)

=2sinθ-1

0<θ<π/6のときf'<0
π/6<θ<π/2のときf'>0

よってθ=π/6⇔t=tanθ=1/√3のとき最小値

f(1√3)=2√(1+1/3)-1/√3-1=2・2/√3-1/√3-1=3/√3-1

=√3-1

回答No.4

info22_

#3です。
f(t)の最小値を求めてなくて失礼しました。

A#3の続きです。
f(t)=2√(1+t^2) -t-1 (t>0)
f'(t)=2t/√(1+t^2) -1
f'(t)=0とするtを求めると
　2t=√(1+t^2)
　4t^2=1+t^2
t>0より　t=√3/3 この時f(t)は極小値をとる。
0<t<√3/3のときf'(t)<0, √3/3<tのとき　f'(t)>0 であるから
極小値が最小値となる。
最小値f(√3/3)=2√(1+(1/3))-(√3/3) -1=√3 -1

となります。

回答No.3

info22_

0≦x≦tan^-1(1/t)のとき　|cos(x)-tsin(x)|=cos(x)-tsin(x)≧0
tan^-1(1/t)<x≦π/2のとき|cos(x)-tsin(x)|=-cos(x)+tsin(x)≧0
であるから
f(ｔ)=∫(0→π/2)｜cosx-tsinx|dx
=∫(0→tan^-1(1/t))(cos(x)-tsin(x))dx-∫(tan^-1(1/t)→π/2)(cos(x)-tsin(x))dx
=[sin(x)+tcos(x)](0→tan^-1(1/t))-[sin(x)+tcos(x)](tan^-1(1/t)→π/2)
=[1/√(1+t^2)+t^2/√(1+t^2) -t]-[1-1/√(1+t^2)-t^2/√(1+t^2)]
=2√(1+t^2) -t-1

回答No.1

LHS07

∫（cosx-tsinx)dx
はわかりませんか？

わからないのであれば積分の最初が理解できていないでしょう？
10回でも20回でもわかるまで読みましょう。