1(a) 置換積分： x=tanθ と置きます。
dx=(cosθ)^2 dθ, x=0のときθ=0, x=1のときθ=π/4
公式 1+(tanθ)^2 =1/(cosθ)^2 を利用すると
∫[x=0→1] dx/(1+x^2)
=∫[θ=0→π/4] dθ/[(cosθ)^2 {1+(tanθ)^2}
=∫[θ=0→π/4] dθ
=π/4
1(b) 置換積分： t=x^3 とおきます。
dt=3x^2 dx, x=0のときt=0, x=2のときt=8
∫[x=0→2] x^2*exp(x^3)dx
=∫[t=0→8] exp(t)*(dt/3)
=(1/3)(e^8-1)
1(c) 部分積分（xとcos(x)で）
∫[x=0→π] x*cos(x)dx
=[x*sin(x)][x=0→π] -∫[x=0→π] sin(x)dx
=0-[-cos(x)][x=0→π]
=-2
1(d) 部分積分（(x-α)と(x-β)^3で）
∫[x=α→β] (x-α)(x-β)^3 dx
=[(x-α)*{(1/4)(x-β)^4}][x=α→β] -∫[x=α→β] (1/4)(x-β)^4 dx
=0-(1/4)[(1/5)(x-β)^5][x=α→β]
=(1/20)(α-β)^5
1(e) 置換積分： x=sin(t)（ヒント通り）、cos(t)=y
dx=cos(t)dt, x=0のときt=0, x=1のときt=π/2
-sin(t)dt=dy, t=0のときy=1, t=π/2のときy=0
利用公式： 0≦t≦π/2 で 1-sin(t)^2=cos(t)
半角の公式 cos(t)^2={1+cos(2t)}/2
∫[x=0→1] (1+x)√(1-x^2) dx
=∫[t=0→π/2] {1+sin(t)}√{1-sin(t)^2} cos(t)dt
=∫[t=0→π/2] {cos(t)^2+sin(t)cos(t)^2}dt
=∫[t=0→π/2] {1+cos(2t)}/2 dt +∫[y=0→1] y^2 dy
=[(1/2){t+sin(2t)/2}][t=0→π/2] +[(1/3)y^3][y=0→1]
=π/4+1/3
1(f) 置換積分： cos(x)=t（ヒント通り）
-sin(x)dx=dt, x=π/3のときt=1/2, x=π/2のときt=0
∫[x=π/3→π/2] dx/sin(x)
=∫[t=0→1/2] dt/(1-t^2) （∵ sin(x)^2=1-cos(x)^2=1-t^2 ）
=∫[t=0→1/2] (1/2){1/(1-t)+(1/(1+t)} dt （∵ 部分分数分解 1/(1-t^2)=1/(1-t)+1/(1+t) ）
=(1/2)[log|(1+t)/(1-t)][t=0→1/2]
=(1/2)log(3)
2. 定積分∫[x=0→a] √(a^2-x^2) dx は半径a(>0)の円を4等部分にしたものの面積です。
置換積分（x=a*sin(t)）を使って定積分を求めます。
dx=a*cos(t)dt, x=0のときt=0, x=aのときt=π/2
∫[x=0→a] √(a^2-x^2) dx
=∫[t=0→π/2] a*cos(t) a*cos(t)dt
=a^2*∫[t=0→π/2] cos(t)^2 dt
=a^2*∫[t=0→π/2] {1+cos(2t)}/2 dt （∵ 半角の公式）
=a^2*π/4
=πa^2/4
従って、半径a(>0)の円の面積は、定積分を4倍したものに等しいので、 πa^2
