積分の問題を教えてください。

質問

関数(f)=∫1,-1{絶対値x-t}dxとするとy=f(x)のグラフの方程式は、t<-1のときｙ＝＿＿、－1≦t<1のときy=＿＿、1≦tのときy=＿＿である。

　という問題のプロセスや解説を教えてください。

回答No.3

springside · ベストアンサー

要するに、「絶対値をどうやって外すか」ということですね。

以下、全て、-1≦x≦1で考えます（積分区間がこれなので）。
y=|x-t|のグラフを書いて、それを見ながら考えてください。

(1)t<-1のとき
x-t>0なので、|x-t|=x-tです。
よって、y=∫(-1～1)(x-t)dx

(2)－1≦t＜1のとき
　-1≦x≦tではx-t<0なので、|x-t|=-(x-t)=t-x
　t≦x≦1ではx-t>0なので、|x-t|=x-t
なので、
　y=∫(-1～t)(t-x)dx + ∫(t～1)(x-t)dx

(3)1≦tのとき
x-t<0なので、|x-t|=-(x-t)=t-x
よって、y=∫(-1～1)(t-x)dx

以上の３つの場合それぞれを計算すればＯＫです。

お礼

回答ありがとうございます。
わざわざ場合わけしてもらってすいません。
絶対値の外し方が分からないっていうのは図星でした…。
絶対値は苦手です…。

がんばります！

回答してくださったみなさんありがとうございました。

回答No.2

oshiete_goo

関数f(t)＝∫_{-1～1}|x-t|dx
なのでしょうか.

積分変数がxなので，積分のときはtは定数と見なします．
すると，横軸xとして，
y＝|x-t|　
の全ての実数xについてのグラフをまず描くと，
x≦tで傾き－1(右下がり)，x≧tで傾き１(右上がり)で，点(t，０)で折れ曲がります．
あとは，ｔが－1≦x≦1の区間に対して，左か，中か，右かで場合分けして面積を求めれば良いですね．
ただし，－1＜t＜1　のときは，式が切り替わるので，積分区間を分けるなどの処理が必要です．
また，今の場合は直線図形なので，初等幾何的に積分の値は求められます．

お礼

回答ありがとうございました。
絶対値に何か苦手意識があります…。

回答No.1

humihiro2003

(1)t<-1のとき
(2)－1≦t<1のとき
(3)1≦tのとき
の３つで場合分けして、
具体的にｘ－ｔはどのようなグラフになるのかを考えて、
絶対値を外します。
その後、その３つについて、積分計算をしてみましょう。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
嗚呼、絶対値～。

ありがとうございました。