不定積分の問題

質問

不定積分の問題です。ｍを自然数とするとき、
　　　　　　　　 　　　　　　ｎ　　　　　　
(1)∫(cosx)^(2m-1)dx＝Σa(k)(sinx)^k+C　
　　　　　　　　　　　　　　k=1
(Cは積分定数）　（a(k)のｋは添え字です。）
を満たす自然数ｎおよび実数a(k)（k=1,2,…,n)を求めよ。

(2)f(t)を多項式とするとき、
∫f(cosx)dx－∫f(－cosx)dx＝g(sinx)+C (Cは積分定数）
を満たす多項式ｇ(t)が存在することを示せ。

という問題です。
（１）はｎ＝２ｍ－１
　　　　a(k)＝０（ｋ＝2.4.…ｎ－１）
　　　　　　　（ｋ＝1,3,…ｎ）のときは式が複雑なので記載するのは控えます。
分からないのは（２）で解答には
　　　　ｎ
f(t)＝Σb(k)t^k とおけるので、ｎ＝２L－１とおくと
　　　k=0
　　　　　　 L
f(t)-f(-ｔ）=Σ２ｂ(2m-1)t^(2m-1)
　　　　　m=1
となっているんですが、なぜ ｎ＝２L－１とおくのか、f(t)-f(-ｔ）の右辺のΣのｍが１→L　なのかがわかりません。
宜しくお願いします。

回答No.1

yumisamisiidesu · ベストアンサー

(1)よりf(x)がどんな多項式関数でも
∫f(cosx)dx－∫f(－cosx)dxはsinxの奇数次になることが言えます.

∵
　∫f(cosx)dx－∫f(－cosx)dx
= ∫(f(cosx)－f(－cosx))dx
ここでf(x)=Σa(k)x^k (k=0,…,2n a(2n)≠0 or a(2n-1)≠0 )とすると
　∫(f(cosx)－f(－cosx))dx
= ∫(Σ2a(k)(cosx)^k)dx (但しk=1,3,…,2n-1)
= 2Σ∫(a(k)(cosx)^k)dx
i.e. この式は(1)よりsinxの奇数次の多項式の和で表せる

上で奇数次になる証明の中で(2)も示されたと思います.