積分

質問

∫dx/(sinx+cosx)

この問題なんですが
tan(x/2)=tとおいて
cosx=(1-t^2)/(1+t^2)
sinx=2t/(1+t^2)
dx=2dt/(1+t^2)
・・・・
とやるそうなんですが、cosxとsinxはどうやって
あんな形にするんでしょうか？

回答No.5

nious

もしかすると合成してから積分した方が多少楽かもしれませんね。

(1/√2)∫dx/{sin(x+(π/4))}=(1/√2)∫sin(x+(π/4)/{1-cos^2(x+(π/4))}
cos(x+(π/4))=tとおくと、
-(√2/4)*log|(1+t)/(1-t)|+C=(1/√2)*log|tan((x/2)+(π/8))|+C

回答No.4

take_5

こんなのは三角関数のところで習わなかった？
いろんな方法が考えられる。

sin（2x）＝2cosx*sinx＝（2cosx*sinx）/（cos＾2x＋sin＾2x）＝（2tanx）/（1+tan＾2x）＝2t/(1+t^2)。

cos（2x）＝cos＾2x-sin＾2x＝（cos＾2x-sin＾2x）/（cos＾2x＋sin＾2x）＝（1-tan＾2x）/（1+tan＾2x）＝(1-t^2)/(1+t^2)。

お礼

ありがとうございます
思い出しました

回答No.3

arrysthmia

二点 (-1, 0), (0, t) を通る直線と
単位円との交点を (cos x, sin x) とし、
図を書いて幾何学的に求めます。

回答No.2

info22

以下のようにすれば変形できます。

sin(x)=2sin(x/2)cos(x/2)
=2sin(x/2)/cos(x/2)*cos^2(x/2)
公式1+tan^2(A)=1/cos^2(A)を使って
=2tan(x/2)/{1+tan^2(x/2)}
=2t/(1+t^2)

cos(x)=cos(x/2)cos(x/2)-sin(x/2)sin(x/2)
=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
={1-sin^2(x/2)/cos^2(x/2)}*cos^2(x/2)
公式1+tan^2(A)=1/cos^2(A)を使って
={1-tan^2(x/2)}/{1+tan^2(x/2)}
=(1-t^2)/(1+t^2)

回答No.1

egarashi

倍角使って、tanxをtで表せば、cosxとsinxもtで表せます。