積分の問題

質問

各自然数ｎに対して、ｔの関数Jn(t)を
Jn(t)＝∫[t+π/2→t] (cosx)^n dxとする

（１）Jn(t)の導関数をsintとcosｔであらわせ
（２）Jn(t＋π）＝（－１)^n・Jn(t)を置換積分を使って表せ

（２）なんですが（１）利用して解くんですよね？
やってみたんですが、ちょっと上手くいかなくて。どうやればいいのでしょうか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
{cos(x)}^nの原始関数をFn(x)とおくと{Fn(x)}'={cos(x)}^nなので
Jn(t)=Fn(t+π/2)-Fn(t)
{Jn(t)}'={cos(t+π/2)}^n-{cos(t)}^n={-sin(t)}^n-{cos(t)}^n

(2)
>（２）なんですが（１）利用して解くんですよね？
違います。

以下のようにすれば良い。
Jn(t+π)=∫[t+π→t+3π/2] {cos(x)}^n dx
x-π=uと置換積分
=∫[t→t+π/2]{cos(u+π)}^n du
=∫[t→t+π/2]{-cos(u)}^n du
={(-1)^n}∫[t→t+π/2]{cos(u)}^n du
={(-1)^n}Jn(t)

補足

すいません書き間違えました
Jn(t)＝∫[t→t+π/2]・・・でした