数学ベクトルお願いします！

質問

数学Bベクトルの問題です。(1)(2)は分かったので、(3)を教えていただきたいです。よろしくお願いします。
□には分数の答えが入ります。

四面体OABCにおいて辺OAの中点をP,辺BCの中点をQ,辺OBの中点をS,辺CAの中点をT,辺辺OCの中点をV,辺ABの中点をWとする。

(1)ベクトルPQをベクトルOA,OB,OCで表せ
(2)ベクトルPQ・ベクトルST=-□AB^2+□OC^2である。
(3)AB=5,BC=7,CA=8,ベクトルPQ・ベクトルST=6,ベクトルST・ベクトルVW=8,ベクトルVW・ベクトルPQ=9のときOC=□,cos∠AOB=□である。

回答No.2

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(1)
↑PQ=↑OQ-↑OP=(↑OB+↑OC)/2 -↑OA/2=(↑OB+↑OC-↑OA)/2

(2)
(1)と同様にして
↑ST=(↑OA+↑OC-↑OB)/2

↑PQ・↑ST=((↑OB+↑OC-↑OA)/2)・((↑OA+↑OC-↑OB)/2)
=(1/4)(OC^2-AB^2)
=-(1/4)AB^2+(1/4)OC^2

(3)
(2)より
↑PQ・↑ST=-(1/4)AB^2+(1/4)OC^2=-(1/4)5^2+(1/4)OC^2=6 ∴OC=7　…（☆）
同様にして
↑ST・↑VW=-(1/4)BC^2+(1/4)OA^2=-(1/4)7^2+(1/4)OA^2=8 ∴OA=9
↑VW・↑PQ=-(1/4)AC^2+(1/4)OB^2=-(1/4)8^2+(1/4)OB^2=9 ∴OB=10
余弦定理より
cos∠AOB=(↑OA・↑OB)/(OA*OB)=(9^2+10^2-5^2)/(2*9*10)=13/15　…（☆）

(☆)が(3)の答え

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回答No.1

151A48

ＰＱ・ＳＴ（ベクトルの内積）＝（-1/4)AB^2 +(1/4)OC^2=6, AB=5　より　ＯＣ＝７
同様に
ＳＴ・ＶＷ（ベクトルの内積）＝(-1/4)BC^2+(1/4)OA^2=8 , BC=7 より　OA=9
ＶＷ・ＰＱ（ベクトルの内積）＝(-1/4)AC^2+(1/4)OB^2=9 , AC=8 より　OB=10
とでると思います。
△ＯＡＢで余弦定理より，cos∠AOB=(81+100-25)/2・9・10 =13/15

お礼

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