ベクトルの問題です。使われている定義の意味？

質問

三角形OABにおいて、OA＝１、OB＝４、∠AOB＝２／３πとし、点Oから辺ABにおろした垂線の足をH、辺OBの中点をM、線分OHと線分AMの交点をCとします。

OHベクトルは６／７OAベクトル＋１／７OBベクトルだとわかりました。

しかし、OCベクトルをOAベクトルとOBベクトルを使って表す方法が解説を読んでもわかりません。

模範解答の中では、OCベクトル＝ｋOHベクトルとして、OBベクトルをOMベクトルに直し、
Cは直線AM上の点だから６／７ｋ＋２／７ｋ＝１になる。など書いてありますが、よくわかりません。

わかりやすく解説していただけるとうれしいです。

よろしくおねがいします

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

Cが直線AM上の点となるとき次の式が成り立ちます。

OCベクトル=a*OAベクトル+b*OMベクトル　とすると　a+b=1 (☆)

今回の場合も上の条件を導けばよいのです。

OCベクトル=k*OHベクトル
この式が成り立つことはわかりますよね。CはOH上の線ですのOCベクトルとOHベクトルは同じ向き、つまりOCベクトルはOHベクトルの定数倍になります。

これをOAベクトルOMベクトルで表します。

OHベクトル=(6/7)OAベクトル+(1/7)OBベクトル
ですので
OCベクトル=k*OHベクトル=(6k/7)OAベクトル + (k/7)OBベクトル (1)
となります。
この式はOAベクトルは出てきますが、OMベクトルは出てきません。
ここでMがの中点であることから
OMベクトル=(1/2)OBベクトル
であることがわかります。書き換えると
OBベクトル=2*OMベクトル (2)
です。

(2)を(1)に代入すると
OCベクトル=(6k/7)OAベクトル + (k/7)*2*OMベクトル = (6k/7)OAベクトル + (2k/7)OMベクトル (3)
となります。

ここで(☆)と(3)を見比べると
a=6k/7
b=2k/7
となっていることがわかると思います。
つまり
a+b=6k/7+2k/7=1
となるのです。

お礼

ありがとうございます。
わかりました！

回答No.2

B-juggler

こんばんは。丁寧に絵を書いてください。

そんなにきつくはなさそうですが・・。

どこがどうつながっているのが、見えていらっしゃらないように思います。

ちょっと簡単に絵を書きますね。

ｍ（＿　＿）ｍ

とりあえず、ぱっと分かるのは　ＯＭ＝（１／２）ＯＢ　ですかね。

ＯＭ＝ＯＡ＋ＡＭ　ベクトルですね。

なんとなく・・・？　見えてくるような気がしませんか？

お礼

わざわざ図を書いてくださり、ありがとうございました