ベクトルを教えて下さい

質問

四面体ＯＡＢＣがあり、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝５、∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ＝９０゜である。辺ＡＢを２：１に内分する点をＤ、辺ＯＣの中点をＥ、線分ＤＥの中点をＦとする。また、↑ＯＡ＝↑ａ、↑ＯＢ＝↑ｂ、↑ＯＣ＝↑ｃとする。

（１）内積↑ａ・↑ｂを求めよ。また、↑ＯＤを↑ａ、↑ｂを用いて表せ。
→解けました。
↑ａ・↑ｂ＝０
↑ＯＤ＝↑ａ＋２↑ｂ／３

（２）↑ＯＦを↑ａ、↑ｂ、↑ｃを用いて表せ。また、線分ＡＦと△ＯＢＣとの交点をＰとするとき、↑ＯＰを↑ｂ、↑ｃを用いて表せ。
→↑ＯＦを求め、↑ＡＰ＝ｔ↑ＡＦとなるような実数ｔが存在するため、これを求める。式↑ＡＰ＝ｔ↑ＡＦを始点Ｏベクトルの関係式に直し、↑ＯＰを↑ａ、↑ｂ、↑ｃを用いた式で表す。↑ＯＰは↑ｂと↑ｃだけで表される。↑ａの係数は０である。このことよりｔを求める。を使うそうです。

（３）（２）のとき、△ＯＡＰの面積を求めよ。
→↑ＯＡ・↑ＯＰ＝０を示し、｜↑ＯＰ｜^２を計算する。｜ｐ↑ａ＋ｑ↑ｂ｜^２の公式を使う。を使うそうです。

解答と解説をよろしくお願いします。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#3,#4です。

#4の補足質問について

>(1)はテストで書くときは正解ですが、ネット上では、表現上ややこしいのでだめということですね。

ちょっと書き方がまずいと言うだけですね。

>(1)↑ＯＤ＝↑ａ＋２↑ｂ／３
こう書くと
↑ＯＤ＝(↑ａ)＋(２↑ｂ／３)＝(↑ａ)＋(2/3)↑ｂ
の意味になります。

(2)の意味
　↑ＯＤ＝(1/3)(↑ａ)＋(2/3)(↑ｂ)　…(2)
になる書き方にしたければ
(1)を
　↑ＯＤ＝{(↑ａ)＋2(↑ｂ)}/3
と括弧を付けて書けば(2)の表現と同じ意味になり正解となります。
サイトでの手入力では、分子と分母の範囲が確実に伝わるように
必ず多重括弧を付けて分子、分母を区切って書くようした方が良いでしょう。

回答No.4

info22_

#3です。

A#3の補足質問と図の添付

>↑ＯＤ＝↑ａ＋２↑ｂ／３と
(1/3)↑a+(2/3)↑bの違いはなんですか？

ベクトル↑ODを成分表示で書けば明らかに違うことが分かるでしょう。
添付図のように座標軸をとれば
>↑ＯＤ＝↑ａ＋２↑ｂ／３
=(5,0,0)+2(0,5,0)/3=(5,10/3,0)
このベクトル表記によれば点Dのx座標が5でy座標が10/3(z座標は0)
なので点Dは線分AB上にないことは明らか。点Dは線分ABを2:1に分割する内分点であって線分AB上に存在しなければならないので間違い。

>(1/3)↑a+(2/3)↑b
=(1/3)(5,0,0)+(2/3)(0,5,0)=(5/3,10/3,0)
このベクトル表現による↑ODの点Dは添付図のように線分ABを2:1に分割する内分点になり正しいことが確認できます。

補足

↑ＯＤ＝↑ａ＋２↑ｂ／３…(1)
(1/3)↑a+(2/3)↑b…(2)
解決しました。
(1)はテストで書くときは正解ですが、ネット上では、表現上ややこしいのでだめということですね。

回答No.3

info22_

(1)
>↑ａ・↑ｂ＝０
合っています。
OA⊥OBより
↑a・↑b=OA*OB*cos90°=5*5*0=0

>↑ＯＤ＝↑ａ＋２↑ｂ／３
間違い。

↑OD=↑OA+AD↑=↑a+(2/3)↑AB=↑a+(2/3)(↑OB-↑OA)
=↑a+(2/3)(↑b-↑a)
=(1/3)↑a+(2/3)↑b
が正解。

(2)
↑OF=↑OD+↑DF=↑OD+(1/2)↑DE
=↑OD+(1/2)(↑OE-↑OD)
=(1/2)↑OD+(1/2)↑OE
=(1/2)↑OD+(1/2)*(1/2)↑OC
=(1/2){(1/3)↑a+(2/3)↑b}+(1/4)↑c (∵(1)より)
=(1/6)↑a+(1/3)↑b+(1/4)↑c
↑AF=↑OF-↑OA=-(5/6)↑a+(1/3)↑b+(1/4)↑c
↑OP=↑OA+↑AP=↑a+t↑AF={1-(5t/6)}↑a+(t/3)↑b+(t/4)↑c
↑OPの↑a成分=0より
1-(5t/6)=0 　t=6/5
この時
↑OP=(2/5)↑b+(3/10)↑c

(3)
↑OA・↑OP=(2/5)↑a・↑b+(3/10)↑a・↑c=0+0=0
∠AOP=90°、OA=5,OP=√{2^2+(3/2)^2}=5/2 より
△OAP=OA*OP/2=5*(5/2)/2=25/4

補足

すみません
↑ＯＤ＝↑ａ＋２↑ｂ／３と
(1/3)↑a+(2/3)↑bの違いはなんですか？

答えを見たら当たってました。

回答No.2

ferien

訂正です。済みません。以下のようにお願いします。

↑ＯＰは↑ｂと↑ｃだけで表される。↑ａの係数は０である。このことよりｔを求める。

(1/6)ｔ＋１－ｔ＝０より、　ｔ＝6/5
よって、ＯＰ＝(2/5)ｂ＋(3/10)ｃ　……答え

（３）（２）のとき、△ＯＡＰの面積を求めよ。
→↑ＯＡ・↑ＯＰ＝０を示し、｜↑ＯＰ｜^２を計算する。｜ｐ↑ａ＋ｑ↑ｂ｜^２の公式を使う。を使うそうです。

↑ＯＡ・↑ＯＰ＝ａ・｛(2/5)ｂ＋(3/10)ｃ｝
　　　　　　＝(2/5)（ａ，ｂ）＋(3/10)（ａ，ｃ）　（１）より
　　　　　　＝０
これより、△ＯＡＰは、角ＡＯＰ＝９０度の直角三角形

｜↑ＯＰ｜^２＝｛(2/5)ｂ＋(3/10)ｃ｝^2
　　　　　　＝(4/25)｜ｂ｜^2＋２・(2/5)・（3/10)（ｂ，ｃ）＋（9/100)｜ｃ｜^2　（１）より
　　　　　　＝(4/25)・５^2＋(9/100)・５^2
　　　　　　＝25/4
ＯＰ＝5/2
△ＯＡＰの面積＝ＯＰ×ＯＡ×（１／２）
　　　　　　　＝（１／２）＝（5/2)×５×（１／２）
　　　　　　　＝２５／４　……答え

なにかあったらお願いします。

回答No.1

ferien

四面体ＯＡＢＣがあり、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝５、∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ＝９０゜である。辺ＡＢを２：１に内分する点をＤ、辺ＯＣの中点をＥ、線分ＤＥの中点をＦとする。また、↑ＯＡ＝↑ａ、↑ＯＢ＝↑ｂ、↑ＯＣ＝↑ｃとする。

｜ａ｜＝｜ｂ｜＝｜ｃ｜＝５

>（１）内積↑ａ・↑ｂを求めよ。また、↑ＯＤを↑ａ、↑ｂを用いて表せ。
>→解けました。
>↑ａ・↑ｂ＝０　　これと同じやり方で、ｂ・ｃ＝０，ｃ・ａ＝０，ａ・ｂ＝０……（１）
>↑ＯＤ＝↑ａ＋２↑ｂ／３　　ＯＤ＝(1/3)ａ＋(2/3)ｂでは？

（２）↑ＯＦを↑ａ、↑ｂ、↑ｃを用いて表せ。また、線分ＡＦと△ＯＢＣとの交点をＰとするとき、↑ＯＰを↑ｂ、↑ｃを用いて表せ。
>→↑ＯＦを求め、↑ＡＰ＝ｔ↑ＡＦとなるような実数ｔが存在するため、これを求める。式↑ＡＰ＝ｔ↑ＡＦ>を始点Ｏベクトルの関係式に直し、↑ＯＰを↑ａ、↑ｂ、↑ｃを用いた式で表す。↑ＯＰは↑ｂと↑ｃだけで表される。↑ａの係数は０である。このことよりｔを求める。を使うそうです。

辺ＡＢを２：１に内分する点をＤ、辺ＯＣの中点をＥ、線分ＤＥの中点をＦとするから、

ＯＥ＝(1/2)ＯＣ＝(1/2)ｃ
ＯＦ＝(1/2)ＯＤ＋(1/2)ＯＥ
　　＝(1/2)｛(1/3)ａ＋(2/3)ｂ｝＋(1/2)(1/2)ｃ
　　＝(1/6)ａ＋(1/3)ｂ＋(1/4)ｃ

↑ＡＰ＝ｔ↑ＡＦとなるような実数ｔが存在するため

ＡＰ＝ｔＡＦｔ（ＯＦ－ＯＡ）
ＯＰ－ＯＡ＝ｔ（ＯＦ－ＯＡ）より、
ＯＰ＝ｔＯＦ－ｔＯＡ＋ＯＡ
　　＝ｔ｛(1/6)ａ＋(1/3)ｂ＋(1/4)ｃ｝＋（１－ｔ）ａ
　　＝｛(1/6)ｔ＋１－ｔ｝ａ＋(1/3)ｔｂ＋(1/4)ｔｃ

↑ＯＰは↑ｂと↑ｃだけで表される。↑ａの係数は０である。このことよりｔを求める。

(1/6)ｔ＋１－ｔ＝０より、　ｔ＝6/5
よって、ＯＰ＝(2/5)ｂ＋(3/5)ｃ　……答え

（３）（２）のとき、△ＯＡＰの面積を求めよ。
→↑ＯＡ・↑ＯＰ＝０を示し、｜↑ＯＰ｜^２を計算する。｜ｐ↑ａ＋ｑ↑ｂ｜^２の公式を使う。を使うそうです。

↑ＯＡ・↑ＯＰ＝ａ・｛(2/5)ｂ＋(3/5)ｃ｝
　　　　　　＝(2/5)（ａ，ｂ）＋(2/5)（ａ，ｃ）　（１）より
　　　　　　＝０
これより、△ＯＡＰは、角ＡＯＰ＝９０度の直角三角形

｜↑ＯＰ｜^２＝｛(2/5)ｂ＋(3/5)ｃ｝^2
　　　　　　＝(4/25)｜ｂ｜^2＋２・(2/5)・（3/5)（ｂ，ｃ）＋（9/25)｜ｃ｜^2　（１）より
　　　　　　＝(4/25)・５^2＋(9/25)・５^2
　　　　　　＝１３
ＯＰ＝ルート１３
△ＯＡＰの面積＝ＯＰ×ＯＡ×（１／２）
　　　　　　　＝（１／２）＝ルート１３×５×（１／２）
　　　　　　　＝５ルート１３／２　……答え

答えが違うとかなにかあったらお願いします。